Интегрирование простейших рациональных дробей

           будет соответствовать сумма  k  дробей вида , а сомножителю  из (6.4) – сумма дробей .

О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8

Пример. Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функции  на элементарные дроби.

Ñ В разложении знаменателя  на  множители  соответствует действительному корню  кратности 3,  – действительному простому корню ,  – паре простых комплексных  сопряженных корней ; – паре комплексных сопряженных корней  кратности 2.

Тогда разложение  на элементарные дроби будет выглядеть так:

. #

6.7 Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей (6.3).

Дробь I типа..

Дробь II типа. .

Дробь III типа. .

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение .

===

==

==

+.

Дробь IV типа. Интегрирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчлена  и  выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

1);

2). (Предварительно сделана замена переменной  ).  Этот интеграл вычисляется по рекуррентной формуле: .

6.8 Интегрирование рациональных дробей

-правильная рациональная дробь. Чтобы её проинтегрировать, нужно  разложить на сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).

Если -неправильная рациональная дробь, то деля числитель на знаменатель, выделяем целую часть, которая является многочленом. Таким образом, можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, об интегрировании которых говорилось выше.

Пример. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет действительные простые корни . Разложим подынтегральную дробь на элементарные:

                                     .                     (8.1)

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

Полагая постепенно, получим систему уравнений

   

=#

Пример. Найти интеграл .

Ñ Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:

                                ,               (8.2)

.

Коэффициентыможно найти, приравнивая в этом тождестве коэффициенты при одинаковых степенях  многочленов, стоящих справа и слева в (8.2)

  

Решив систему уравнений, получим ,

.#

Задачи для самостоятельного решения

72..   73..   74.. 75..  76..    77..

78.   79..   80..  81..   82..   83..

84..   85..   86.. 87..   88..   89..

90..   91..   92..   93..

6.9 Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

1)  .                                                                                          (9.1)

Интеграл всегда берется в конечном виде подстановкой .

.

Эта подстановка является универсальной для интегралов (9.1). Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит дробь, в числителе и знаменателе каждой стоят многочлены относительно  и , степени не более первой.

Пример. Найти интеграл  .

Ñ Сделаем подстановку .   =

 . #

Заметим, что подстановка ,  приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

2)  .

Если имеет место тождество , то удобнее сделать подстановку ,  .

Пример. Найти интеграл .

Ñ  Т.к.,

то делаем подстановку , тогда ;   ; 

;  .

=

= =

 .

3) .  Для нахождения этих интегралов применяется подстановка .   . Подстановка

Пример. Найти интеграл

Ñ Сделаем подстановку  

  #

4) ,         

Интеграл берётся понижением степени  с помощью формул ;

Пример. Найти интеграл.

Ñ

. #

5).   Хотя бы одно из чисел  – целое положительное нечетное. Например, .

.

Дальше можно сделать подстановку .

Пример. Найти интеграл .

Ñ