Исследование функций с помощью производных

Глава 5. Исследование функций с помощью производных

5.1. Возрастание и убывание функций.

Функция f (x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a,b), если  таких, что  выполняется  .

Функция f (x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a,b), если таких, что  ,  .

Теорема 1. Пусть f (x) дифференцируема на (a,b). Тогда если   , то f (x) возрастающая (убывающая) на (a,b).

Замечание 1. Условие   является необходимым и достаточным для неубывания (невозрастания) f (x) на (a,b).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.

5.2. Точки экстремума функций.

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции

Точка  называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если - проколотая окрестность т.  такая что    . Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума). Пусть  т. - точка экстремума функции . Тогда либо  либо   не существует.

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть  непрерывна в т. и дифференцируема в . Тогда, если выполняются следующие условия:

либо а) ,  , либо б)  , , то  имеет экстремум в т. , а именно: локальный минимум в случае а) и локальный максимум в случае б).

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .

Ñ . Вычислим производную. = =. Экстремум может достигаться при ,  и , так как эти значения принадлежат области определения  и f (-1) не существует,   f (1/2)=0,   f (5)=0. Исследуем знаки первой производной на интервалах ,
(-1, 1/2), (1/2, 5), .

-

             

                                                                         

                 -1              1/2               5

Например, . По методу интервалов получаем остальные знаки. Тогда  возрастает на (-1, 1/2) и ; убывает на и (1/2, 5). Точки  и  - локальные минимумы, а  - точка локального максимума функции.#

Пример. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность S.

ÑФормула площади полной поверхности имеет вид . Так как , то выразив  можно получить . Исследуем S (R) на экстремум. . Экстремум возможен если  т.е. . Проверим смену знаков   

знак

                    _                           +       

           0

При    S(R) имеет локальный минимум и подставляя  получаем . #

          Пусть  непрерывна на  и точки  такие что ,  либо равна 0, либо не . Тогда наибольшее значение  на  есть , а наименьшее - .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения  на [0, 1]. Ñ Вычислим производную:

.

Заметим что,  на [0, 1]. Экстремум возможен при . Тогда f_{наибольшее}=, f_{наименьшее}=. Здесь наибольшее значение достигается в двух точках, а наименьшее – в одной. #

Задачи для самостоятельного решения

1.Показать, что функция  везде возрастает.

2. Показать, что функция  везде убывает.

Найти интервалы монотонности функций.

3. .   4. .   5. .   6. .

7. .

Найти экстремумы функций.

8. .   9. .   10. .

11. .   12. .

Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах.

13. .   14. .  

15.  .   16. .

17. .

18. Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим.

19. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

20. Бревно длиной в 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

21. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле  наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.

5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость.

Точки перегиба функций.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a, b), если  касательная расположена выше (ниже) графика функции.

Теорема 1. Пусть дважды дифференцируема на (a, b),    тогда  выпуклая (вогнутая) на (a, b).

          Точка  называется точкой перегиба графика функции, если слева от этой точки график функции выпуклый (вогнутый), а справа – вогнутый (выпуклый).

Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Пусть - точка перегиба графика функции . Тогда или  или  не существует.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть дважды дифференцируема в некоторой окрестности т.  и либо существует и конечна, либо  не существует и  меняет знак при переходе через т. . Тогда - точка перегиба графика функции.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

Ñ Область определения D(y)=R. Вычислим вторую производную.

.

.

Точки возможного перегиба :, т.к. и  не существует и . Проверим смену знака :