Кратные интегралы. Определение кратного интеграла. Двойные интегралы

Глава 14

Кратные интегралы

14.1.    Определение кратного интеграла 

Определение двойного и тройного интеграла

          Пусть : 1) в ограниченной замкнутой области  “ объема” v(E) задана ограниченная функция ; 2) - разбиение области  на подобласти  с объемами и диаметрами ,  - диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки , ; 4) построим интегральную сумму

.

Определение. Конечный предел I интегральной суммы  при  называется m- кратным интегралом от функции f по области E и обозначается

или                                 .                        (1.1)

Таким образом, по определению,

                                  (1.2)

В этом случае функция   называется интегрируемой в E.

          При m=2  (m=3) для ограниченной функции f в замкнутой области    ) кратный интеграл (1.1) называется двойным (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид

,где точка         (,

где точка .

14.2.    Двойные интегралы

14.2.1. Области на плоскости

Определение. Область  назовем правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).

          Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции и , определенные и непрерывные на [a;b] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:

                                           .                          (2.1)

Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции  и , определенные и непрерывные на [c;d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: (рис.14.2);

тогда символически

                                                         .                         (2.2)

                          Рис.14.1.                                                   Рис.14.2.

Область называется правильной, если она правильная в обоих направленияхOx иOy.

Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Рис.14.3

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми    (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую  и прямую . Поэтому в силу (2.1) область задается системой неравенств: . 

Рис. 14.4

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S₁ и S₂  (рис.14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x=y,  OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L₁ пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x=2y; прямая L₂ пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x=2. Итак,  и в силу (2.2) ,  .#

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству   (a>0) , т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ  Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы   следует   или .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружность OML:  (рис. 14.5)),   в силу (2.1) .

                Рис. 14.5                                                     Рис.14.6

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность

 и полуокружность +   (рис. 14.6)), и в силу (2.2):    #

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x=3,  x=5,  3x-2y+4=0,  3x-2y+1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

14.2.2.   Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной F(x,y) для по переменному “y”, проинтегрированное по переменному “x” , т.е.

.

Определение. Повторный интеграл  есть приращение первообразной Ф(x,y) для f(x,y) по переменному “x”, проинтегрированное по переменному “y”, т.е.

             =.

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по “y”, полагаем “x” постоянным½=

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

4. .   5.     6. .    7. , если .

14.2.3.    Вычисление двойного интеграла в декартовых

   координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

                                                                               (2.3)