Кратные интегралы. Определение кратного интеграла. Двойные интегралы, страница 2

Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Ox области  , т.е. существует двойной интеграл  , 2) существует повторный интеграл , то

                                                .                              (2.4)

          Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2-y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку)  (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OABграницы состоит из отрезков прямых  и , то 
                                              , где (см. (2.1)) ,

. Итак, = =   =.#

Пример 5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

 Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни  , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

               Рис.14.8 а)                       

=.

          Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

Рис.14.8.б

 

 =. #

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

8. .             9. .

10. .           11..

Перейти от двойного интеграла   по конечной области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования:

12. Область D – параллелограмм со сторонами   .

13. .     14. .

15. - треугольник со сторонами .

16. .

17. - треугольник с вершинами .

18. D – сегмент, ограниченный линиями .

Вычислить двойные интегралы:

19. .    20. - круг .

21. - область, ограниченная линиями .

22. - область, ограниченная линиями .

23. - область, ограниченная линиями .

24.- четверть круга , лежащая в первом квадранте.

25. - область, ограниченная параболой  и прямой .

26.  , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды ,  , .

14.2.4.    Замена переменных в двойном интеграле.

          Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости  на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение ,  области S на область P, если якобиан преобразования

                                    =.

          Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть  есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости  на область Sиз плоскости . Тогда справедливо равенство

                                                   (2.5)

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы  

                                                                                     (2.6)

преобразуют полярные координаты  точки в декартовы координаты этой точки и переводят область  (или область ) на всю плоскость Oxy.

          Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

и формула (2.5) принимает вид:

                                                            (2.7)

Рекомендация.  К полярным координатам целесообразно переходить,  когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

          В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам    по формулам

                                               ,                                        (2.8)

- постоянные, . Тогда

                                              ,                                       (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y  к полярным   по формулам ,  . Подставим x  и y в исходное неравенство, получим:  или  . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ).  

          В полярной системе координат круг записывается  неравенствами: . #