Линейный интеграл вектора на плоскости. Вычисление линейного интеграла

Найти линейный интеграл вектора на плоскости:

36.  верхняя половина эллипса  от точки A(a,0), до точки  B(-a,0);

37.  а) отрезок прямой OB; б) дуга параболы ; в) дуга параболы ;  г) ломаная OAB, где A(1,0); д) ломаная OCB, где C(0,1);

38.

39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный интеграл:

40.

41. ,  отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

42.

43.

44.  отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45. Дана напряженность  силового поля. Найти работу поля при перемещении массы m вдоль одного витка винтовой линии  ,  из точки   в точку B (t =2p);

46. Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы  от точки с абсциссой  до точки с абсциссой .

В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:

47.  в отрицательном направлении;

48. замкнутая линия, образованная отрезками осей координат Ox и Oy и другой астроиды , , лежащей в первом квадранте;

49.

50.

51.  линия пересечения параболоида  с координатными плоскостями (в первом октанте);

52. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).

53. Найти работу поля  при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице.

Найти дивергенцию нижеследующих полей:

54. . При какой функции  будет ?

55. ;  56.  - линейная скорость точек вращающейся жидкости  - угловая скорость);

57.  напряженность магнитного поля, J,  – постоянные;

58. ;   59. ;

60. Вычислить  в точке (1,-1,1).

Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:

61.

62.

63.

64. ;

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:

73.    74.

75. Показать, что если координаты вектора  имеют непрерывные частные производные второго порядка, то .

76. Показать, что если  и - постоянные векторы, то .

77. Показать, что .

78. Показать, что .

79. Показать, что векторное поле   является безвихревым.

80. Показать, что ротор поля линейных скоростей  точек вращающегося твердого тела есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения: .

81. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля  совпадал с вектором ?

Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:

82.

83.

84.  по контуру, образованному пересечением плоскости  с координатными плоскостями;

85.

86.

87.

88.

89.

90.

15.2.    Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка

15.2.1. Потенциальное векторное поле

          Определение. Векторное поле  называется потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция , градиент которой образует это поле:

                                                        .                                            (2.1)

Функция u называется потенциалом векторного поля .

          Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:

                                                             .                                                (2.2)

Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля .