Математика \ Математический анализ

Линейные свойства ПИ-1. Свойство аддитивности для ПИ-1

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Фрагмент текста работы

4. Координаты центра тяжести материальной поверхности s :

Задания

1. Записать линейные свойства ПИ-1.

2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

, вырезанная цилиндром (рис.14.26).

Рис. 14.26

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует , ; тогда =

=.#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы :

а) ;

б) ;

Рис.14.277

в)

;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а заменить выражением, полученным выше, причем . Находим:

;

, так как области и переходят одна в другую заменой на ;

;

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

120. , где s - часть плоскости , лежащая в первом октанте.

121. , где s - часть сферы , лежащая в первом октанте.

122. , где s - полусфера .

123. , где s - полусфера .

124. , где s - цилиндр , ограниченный плоскостями , а r –расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. , где s - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью .

126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону .

128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью .

14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на nчастей с площадями и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента на плоскость (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел при называется поверхностным интегралом второго рода от по определенной стороне поверхности s :

(здесь напоминает о проекции на и содержит знак).

При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости и получаем ПИ-2:

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда

а) если , то ;

б) если , то ; (6.5)

в) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на s, то

. (6.6)

Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28

Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность

необходимо разбить на

с уравнением

(рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности

характеризуется нормальным вектором

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,^ÙOz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,^ÙOz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) + =½переходим к полярным координатам :

, ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½=;

=; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z=2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29

а потому

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

Рис.14.29

. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция

на плоскость Oxy есть область

- круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как

, то по формуле (6.3) (или (6.4))

=½переходим к полярным координатам

½=

== = = .#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:

130. , где s - положительная сторона куба, составленного плоскостями .

131. , где s - положительная сторона нижней половины сферы .

132. , где s - внешняя сторона эллипсоида .

133. , где s - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность s ограничивает конечную область (тело) V и , , - направляющие косинусы внешней нормали к s: