Интеграция систем последовательным интегрированием или методом исключения

Полагая , находим , так что находим , так что , . Отделяя действительные и мнимые части, получим два вещественных линейно независимых частных решения ; . Общее решение (1): , .

Пример 3. Найти общее решение системы

                                                                                               (1)

Характеристическое уравнение

                                  или

имеет корни . Найдем частное решение, соответствующее простому корню . Числа  определяем из системы , . Сложив эти уравнения, придем к равенству . Полагая , найдем , так что искомое частное решение:  , . Построим два линейно независимых частных решения, соответствующих кратному корню . Согласно формуле (5.13) ему отвечает решение вида         (2)

Коэффициенты  определяются подстановкой (2) в систему (1). Подставляя (2) в (1) и сокращая на , получим систему

;

;

.

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим систему

откуда , причем  и  произвольны.
Решение (2) принимает вид:  ,  .
В качестве линейно независимых частных решений, соответствующих корню  можно взять  ,   .
Общее решение системы (1): ,  .

Пример 4. Найти общее решение СНЛДУ ,  (1) методом вариации произвольных постоянных.

Решение. Соответствующая однородная система рассмотрена в примере 1. Общее решение системы (1) ищем в виде (5.8): ,  (2). Функции  и  находим из системы (5.9):

,  , откуда   и  . Запишем общее решение (1):  ,   .

Задачи для самостоятельного решения

Проинтегрировать следующие системы последовательным интегрированием или методом исключения:

286.     287.     288.   
289. ;    290.    

291.      292. ;   
293. .

Найти общее решение методом Эйлера и, где указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям:

294.

295.     296.
 297.       298.   299.

300.

301.     302.     303.

304.     305. 

306.       307.

Найти общее решение методом вариации произвольных постоянных и, где указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям:

308.

309.         310.

311.

312.