Оцінка локальної похибки і організація обчислень

Оцінкалокальноїпохибки іорганізаціяобчислень

Як було відмічено в розділі 9, головний член локальної похибки наближення багатокрокового лінійного методу -го порядку визначається першим неврахо­ваним членом відповідного еквівалентного ряду Тейлора:

Цей вираз, що містить похідні високих порядків від розв'язку, можна безпо­середньо використовувати у випадках, коли застосовуються формули методів Гіра змінного порядку і змінного кроку, (10.29) і (10.30), виражені через скін­ченні різниці високих порядків, при цьому:

                       (10.46)

У таких випадках принципово можливе одночасне паралельне оцінювання похибки обчислень для кожного із стійких методів із порядками k= 1, 2,..., 6, що полегшує вибір найбільш ефективного з них на кожному кроці обчислень.

Якщо ж застосовуються формули методів Гіра (10.22) або (10.27), в яких використовуються значення функції або її перші скінченні різниці, то доречні­ше оцінювати похибку вбудованими методами (див. підрозділ 8.4). При цьому більш зручним, з одного боку, є використання формул прогнозу (10.24), (10.27) і (10.30), а з іншого, — формул наближень (10.22), (10.27) і (10.30). У результаті похибка виражається через різницю прогнозованого і обчисленого значень:

                                                                                                   (10.47)

Оцінка похибки з використанням розв'язків із різними кроками, яка описа­на в розділі 8, для методу змінного кроку принципово неможлива.

 Нагадаємо, що прогнозоване значення   використовується також у разі застосування методу Ньютона для обчислення наближення під час розв'язання нелінійних алгебраїчних рівнянь (10.22), (10.27) і (10.30). З метою економії часу часто застосовують модифіковану процедуру Ньютона, для якої обчислен­ня матриці Якобі та розв'язання отриманої лінійної системи методом LU- розкладання виконується лише один раз на кожному кроці. Це, звичайно, призво­дить до збільшення значення локальної похибки і, як наслідок, до зростання кількості виконуваних кроків на заданому інтервалі, однак загальний час розра­хунку може виявитися меншим, тому що істотно зменшуються витрати на ко­жен із таких кроків.

Звичайно, така організація обчислень можлива за умов, які практично збіга­ються з загальними умовами розв'язання диференціального рівняння (див. підрозділ 8.1) і полягають в тому, що права частина диференціального рівняння повинна бути принаймні двічі диференційована і мати обмежені значення. До того ж для всіх tфункція

                                                                                              (10.48)

повинна бути монотонною.

У комерційних програмах, які реалізують неявні методи змінного порядку і кроку Гіра, звичайно передбачаються засоби для розв'язування конкретної за­дачі з заданою точністю шляхом вибору деяких констант (опцій), які визнача­ють кількість допустимих ітерацій Ньютона (чи оцінок матриці Якобі) на кож­ному кроці (від однієї до десятків) і кількості кроків, на яких матриця Якобі не змінюється (від одного до кількох).

10.8. Автоматичнийвибіркроку іпорядкуметоду

Суть методу змінного порядку і змінного кроку полягає в тому, що ці величини, залежно від виду функції розв'язку, погоджено вибираються автоматично на кожному кроці з метою мінімізації загальних витрат комп'ютерних ресурсів на розв'язання задачі з заданою користувачем точністю.

Оскільки порядок методу безпосередньо залежить від кількості визначених і збережених величин, то змінювати його не складно, прогнозуючи локальні по­хибки для методів різних порядків і вибираючи той, для якого оцінка похибки мінімальна. Потім для обраного порядку методу можна оцінити максимальний крок, виходячи з умов забезпечення заданої точності розв'язку і дотримання умов його стійкості. Є принаймні дві можливі реалізації описаного вище підходу.

10.8.1. Алгоритм із довільним вибором порядку методу

Застосовується у випадках, коли використовуються формули методів Гіра змінного порядку і змінного кроку (10.29) і (10.30), виражені через скінченні різни­ці високих порядків. Цей алгоритм передбачає виконання таких кроків.

1.На кожному кроці за формулами (10.46) прогнозується похибка розв'язку
для методів 1, 2, k+ 1 порядків:

                                                                                               (10.49)

2. Вибирається найменша з можливих похибок:

                                                                                           (10.50)

яка визначає вибір порядку методу.

3. Встановлюється нове значення часового кроку на основі заданої користува­чем похибки розв'язку є (8.56) з урахуванням обраного прогнозованого мі­німального значення локальної похибки E_i(10.50) і залежності похибки роз­в'язку від порядку методу k(8.9):