Обчислення власних значень і власних векторів матриці

Міністерство освіти  науки України

Сумський державний університет

Кафедра ІТП

Обов’язкове домашнє завдання

по  дисципліні:

« Чисельні методи в інформатиці »

Виконав:                                                                 студент групи ІТ-61

                                                                                 Руденко С.А.

Перевірив:                                                               Неня В.Г.

Суми 2008

4.3 Обчислення окремих власних значень

Якщо необхідно оцінити лише деякі з власних значень (наприклад, λ_max або λ_min ), то простіше використовувати степеневий метод для формування послідовності векторів

                     ,   k=1,2,3…..                                                (4.28)

Припустимо, що матриця А має n лінійно незалежних власних векторів x_i і максимальне за величиною власне значення λ_max=λ_t  таке, що |λ₁|>|λ₂|>|λ₃|>….>|λ_n|.

Якщо розкласти деякий ненульовий вектор  z₀ у базисі власних векторів матриці

,

то

                     , k=0,1,2,…

    Оскільки |λ_j/λ₁| <1 для j> 2, то напрямок вектора z_kпрямує до напрямку власного вектора х_t якщо тільки а₁≠ 0.

Для підвищення стійкості обчислень проводять масштабування послідовно­сті векторів z_k яке найпростіше здійснити, якщо перейти до послідовності у_k нормуванням векторів z_k за значеннями їх найбільших елементів z_ki, тобто за­мість виразу (4.28) використовують співвідношення:

                              ,    k=0,1,2,….,                                   (4.29)

при цьому

                                                                                                             (4.30)

і похибка визначення найбільшого власного значення прямує до нуля як  (λ_j/λ₁)^k . Коли степеневий метод застосувати до оберненої матриці А^-1, то аналогіч­но можна оцінити величину найменшого власного значення λ_min , якщо викону­ється умова

                                                          

Приклад 4.9

Знайдемо найбільше власне значення матриці з прикладу 4.5:

Спочатку, вибираючи вектор z₀ = [1,1,1,1]^Т, згідно з формулою (4.28) обчислюємо пос­лідовність векторів z_k+1за допомогою програми для пакета Mathcmatica:

In[]:=<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`

A={{2, 1, 4, 1},

       {3,3, 2, -2},

      {4 , 2, -1, 3},

      {5, -1, 4, 2}};

z[0]={1.,1.,1.,1.};

n=15

k[0]=First[Extract[z[0], Position[Abs[z[0]], VectorNorm[z[0]]]]];

Do  [k[i]=First[Extract[z[i], Position[Abs[z[i]], VectorNorm[z[i]]]]];             

  z[i+1]=A .z[i]/k[i], {i, 0, n}]

Print[k[15]]

7.98298

Для кращого розуміння виконаної процедури відобразимо проміжні обчислення у більш наочній формі. На першій ітерації отримуємо:

На другій інтерації згідно з виразом (4.29) обчислюємо

На третій інтерації отримуємо

Нарешті, на п’ятнадцятій ітерації отримуємо:

тобто шукане значення λ_max=7,98298, яке добре збігається з результатом, отриманим у прикладі 4.5 за допомогою QR-алгоритму.

Приклад 4.10

Знайдемо найменше власне значення матриці з прикладу 4.5:

Для цього нам необхідна обернена матриця:

Виконаємо за аналогією з попереднім прикладом послідовність ітерацій, користую­чись співвідношеннями (4.29) і обравши початковий вектор z₀ =[1,1,1, 0]^Т :

<<LinearAlgebra`MatrixManipulation`

A={{-0.25, 0.125, 0.0357143, 0.196429},

       {0.25,0.075, 0.135714, -0.253571},

      {0.25 , -0.025, -0.0928571, -0.0107143},

      {0.25, -0.225, 0.164286, -0.0964286}};

z[0]={1.,1.,1.,0.};

n=15

k[0]=First[Extract[z[0], Position[Abs[z[0]], VectorNorm[z[0]]]]];

Do  [k[i]=First[Extract[z[i], Position[Abs[z[i]], VectorNorm[z[i]]]]];             

  z[i+1]=A .z[i]/k[i], {i, 0, n}]

Print[k[15]]

 15

 -0.484893

Враховуючи, що ми отримали оцінку оберненої величини найменшого власного значен­ня матриці, знаходимо:

 1/k[15]

 -2.06231

або  ,

що відповідає результату (λ_min=-2,06237), який отримано в прикладі 4.5.

Степеневий метод можна поширити і на обчислення інших власних значень матриці, які за абсолютною величиною менші, ніж λ_mах або більші, ніж λ_min. Для цього необхідно провести редукцію матриці, замінивши початкову матрицю іншою матрицею, яка не матиме вже знайдених значень λ_mах або λ_min. Якщо матриці симетричні, така редукція здійснюється методом Хотелінга, який базу­ється на використанні властивості ортогоиальності власних векторів матриці;

                                                                                             (4.31)

де компоненти векторів нормуються за значенням  .

Нова матриця А₂ будується на основі початкової матриці А₁ яка має най­більше власне значення λ₁= λ_mах так:

                                                                                                       (4.32)