При
отриманий многочлен збігається з
інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Приклад. Найпростіша емпірична формула .
Про
придатність цієї формули можна робити висновки за величинами . Якщо
, то
формула підходить. Невідомі коефіцієнти
знайдемо з необхідної умови екстремуму функції
.
У результаті одержимо систему лінійних рівнянь
Розв’язуючи систему
,знаходимо a і b , що при заданому вигляді рівняння регресії
забезпечують мінімум (a,b) .
a= ; b=
При цьому, природно, у результаті апроксимування певної сукупності даних в усіх випадках одержується однаковий поліном. Різниця полягає лише у зручності, простоті отримання коефіцієнтів цього полінома.
Якщо
при поліноміальній апроксимації кількість базових функцій-поліномів дорівнює 2,
тобто , апроксимація називається лінійною. В
результаті лінійного апроксимування одержують так звану лінію регресії (пряму).
При
апроксимування називають квадратичним, а
при
-кубічним.
Звичайно,
апроксимування не обов'язково має бути поліноміальним. Наприклад, якщо відомо,
що вимірювана функція є періодичною з відомим періодом ,
де
- кругова частота, то за базові функції
зручно використовувати таку сукупність:
;
;
; . . .,
;
; .
. . ,
тобто
використовувати апроксимацію у вигляді ряду Фур'є. Тут є
цілим додатним числом, яке дорівнює номеру гармоніки у розкладі Фур'є.
Наведена
сукупність функцій є ортогональною на інтервалі, кратному періодові . Тому застосування її є вельми ефективним
(потребує мінімуму обчислень), якщо інтервал вимірювання обрати кратним
періодові.
Опис результатів спостережень методом найменших квадратів ускладнюється, якщо невідомі коефіцієнти в рівняння регресії входять нелінійно. Однак у багатьох випадках задачу вдається спростити, застосовуючи деякі прості перетворення вихідного рівняння регресії.
Приклад.У ряді випадків до лінійної залежності можуть бути зведені
експериментальні дані, коли їхній графік у декартовій системі координат не є
пряма. Цього можна досягти шляхом уведення нових змінних , які вибираються так, щоб точки
лежали на прямій. Таке перетворення
називається вирівнюванням даних. Наприклад, рівняння
регресії має вигляд х=ce
.
Прологарифмуємо функцію lnх=lnc+kt.
Позначимо lnx=z, lnc=a. В
результаті одержуємо лінійне рівняння z=a+kt. Методом найменших квадратів знаходимо значення а і k (див.
приклад вище), після
чого визначимо так само c=e
Вибір вигляду регресійної залежності можна здійснити за таблицею. Для цього за вихідними даними обчислюють середні значення хср та уср
,
,
,
.
Величина обчислюється в такий спосіб:
1) якщо збігається з
одним із вихідних
, то
;
2) якщо знаходиться між
і
, то
знаходимо як ординату відповідної точки на відрізку прямої,
що з'єднує вузли
і
, за формулою
.
Вибір
рівняння регресії здійснюється шляхом пошуку мінімального значення виразу і відповідної йому функції, використовуючи таблицю.
Таблиця 5.1 Вибір залежності
N |
. |
|
|
|
Вигляд функції |
|
1 |
t(ар) |
x(ар) |
x=а0+a1*t |
|||
2 |
t(га) |
x(ар) |
x=а0+а1 /t |
|||
3 |
t(ге) |
x(ар) |
x=a0+a1 lg t |
|||
4 |
t(ар) |
x(ге) |
x=a0*a1t |
|||
5 |
t(ге) |
x(ге) |
x=a0*ta1 |
|||
6 |
t(га) |
x(ге) |
x=exp(a0+a1 /t) |
|||
7 |
t(ар) |
x(га) |
x=1/(a0+a1*t) |
|||
8 |
t(ге) |
x(га) |
x=1/(a0+a1 lg t) |
|||
9 |
t(га) |
x(га) |
x=t/(a0+a1*t) |
|||
Таблицею доречно користуватися, якщо значення нашої функції носять монотонний характер.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.