Функция. Если каждому значению переменной х из множества Х ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве Х задана функция у=у(х);
Предел функции.
1. Пусть Х и Y – метрические пространства, пусть функция у=у(х) определена в окрестности точки х0, говорят, что g – предел функции при х à х0, если для каждой последовательности {xn} из ε окрестности х0, сходящейся к х0 с членами, отличными от х0, соответствующая последовательность f(x) (последовательность значений функции) сходится к числу g.
2. Коши:
a. Если для любого ε>0 найдется δ>0, что ρ (f(x),g)<ε, для любых х из Х, для которых ρ(x,х0)<δ
b. g=f(x0) ó|f(x)-f(x0)|<ε для любых х из Х: |x-x0|<δ
Необх. и дост. условие существования предела: Для того, чтобы g было пределом f(x) при xàx0 необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовала такая N(x0), что знания f(x) для всех числе N(x0) (за искл. быть может, x0) приближали число g с погрешностью < ε (Док-во от противного)
Теорема. Если f(x) имеет конечный предел при х à x0, то она ограничена в окрестности x0 (на основе необх. и дост. признака)
Теорема о сохранении знака: Если при xàx0 lim f(x)=g; g>0, то найдется α>0, что в окрестности x0 : f(x)>α>0; x!=x0 (доказательство в соотв. с необх. и дост. условием)
Теорема о предельном переходе в нер-ве: Если lim f1,2(x)=g1,2, для любого х из N(x0) имеет место неравенство f1(x)≤f2(x), тогда g1≤g2
Теорема о пределе промежуточной переменной: Если lim f1(x)=lim f2(x)=g (xàx0), и в некоторой N(x0) имеет место неравенство f1(x) ≤ φ(x) ≤ f2(x), то функция φ(x) имеет предел g (Док-во через определение предела)
Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если предел
lim f(x)=f(x0) [xàx0] lim f(x0+h)=f(x0) [hà0]
Свойства непрерывных функций: Если f,g непрерывны в т. x0 , то c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) тоже непрерывные функции.
Функция α называется бесконечно малой при x→x0 , если lim α(x)=0 [xàx0];
Функция f называется бесконечно большой при xàx0, если lim f(x)=∞ [xàx0];
Лемма. Конечный предел f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-беск. малая)
Теорема. Сумма и произведение конечного числа бесконечно мылах функций, а также произведение бесконечно малой на ограниченную дает бесконечно малую.
Теорема. Если f(x)-бесконечно большая, то 1/f(x) – бесконечно малая.
Если для функций f(x) и g(x) существует такое c>0, что для любых ч из окрестности x0 выполняется неравенство |f(x)| ≤ c|g(x)|, то f называется ограниченной по сравнению с g. В этом случае f(x)=O(g(x), xàx0)
Лемма. Если f(x) представима в виде f(x)=φ(x)*g(x), х из окрестности х0 и существует конечный предел lim φ(x)≤ x< ∞, тогда f(x)=O(g(x), xàx0)
Лемма. Если существует конечный предел f(x)/g(x) не равный нулю, то f и g – функции одного порядка.
f(x) и g(x) называются эквивалентными, если существует φ(x), что в некоторой N(x0) выполняется равенство f(x) = φ(x)*g(x), причем lim φ(x)=1 [xàx0]. Поскольку существование предела функции в точке – локальное свойства, то поведение φ(x) вне N(x0) роли не играет. Отношение эквивалентности симметрично, в отличие от отношения порядка.
α(x) называется бесконечно малой при xàx0 по сравнению с f(x), если существует ε(x), что в некоторой N(x0) для всех х выполняется равенство: α(x)=ε(x)*f(x); xàx0 . При этом ε(x) удовлетворяет условию: lim ε(x)=0 [xàx0]. Такие функции обозначаются следующим образом: α(x)=o(f(x), xàx0).
Если некоторую f(x) заменяем g(x), то f(x)-g(x) будет абсолютной погрешностью, а
(f(x)-g(x))/f(x) будет относительной погрешностью.
Теорема. Для того, чтобы f(x) и g(x) были эквивалентны при xàx0, необходимо и достаточно, f(x)=g(x)+o(g(x)); (из определения эквивалентности)
Вычисление пределов с помощью гл. части функции.
Пусть заданы α(x) и β(x). Если для любых x из N(x0) ф-ию β(x)=α(x)+o(α(x)), то функция α(x) называется главной частью β(x). Главная часть функции определяется однозначно только, если задать вид главной части.
Лемма. Пусть x0=limX; Х вложено в R; Если функция β(x):XàR, Обладает при xàx0 главной частью вида A*(x-x0)k, А!=0, то среди всех главных частей такого вида она определена единственным образом.
Точки разрыва.
1. Пусть f(x) опред. В N(x0). Точка x0 называется точкой разрыва функции, если f не определена в т.x0 или определена, но не является в ней непрерывной.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.