Функция. Предел функции. Сравнение функций

Функция. Если каждому значению переменной х из множества Х ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве Х задана функция у=у(х);

Предел функции.

1.  Пусть Х и Y – метрические пространства, пусть функция у=у(х) определена в окрестности точки х₀, говорят, что g – предел функции при х à х_0, если для каждой последовательности {x_n} из ε окрестности х₀,  сходящейся к х₀ с членами, отличными от х₀, соответствующая последовательность f(x) (последовательность значений функции) сходится к числу g.

2.  Коши:

a.  Если для любого ε>0 найдется δ>0, что ρ (f(x),g)<ε, для любых х из Х, для которых ρ(x,х₀)<δ

b.  g=f(x₀) ó|f(x)-f(x₀)|<ε  для любых х из Х: |x-x₀|<δ

Необх. и дост. условие существования предела: Для того, чтобы g было пределом f(x) при xàx₀  необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовала такая N(x₀), что знания f(x) для всех числе N(x₀) (за искл. быть может, x₀)  приближали число g с погрешностью < ε (Док-во от противного)

Теорема. Если f(x) имеет конечный предел при х à x_0, то она ограничена в окрестности x₀ (на основе необх. и дост. признака)

Теорема о сохранении знака: Если при xàx₀ lim f(x)=g; g>0, то найдется α>0, что в окрестности x₀ : f(x)>α>0; x!=x₀ (доказательство в соотв. с необх. и дост. условием)

Теорема о предельном переходе в нер-ве: Если lim f_1,2(x)=g_1,2, для любого х из N(x₀) имеет место неравенство f₁(x)≤f₂(x), тогда g₁≤g₂

Теорема о пределе промежуточной переменной: Если lim f₁(x)=lim f₂(x)=g (xàx₀), и в некоторой N(x₀) имеет место неравенство f₁(x) ≤  φ(x) ≤ f₂(x), то функция φ(x) имеет предел g (Док-во через определение предела)

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если предел

lim f(x)=f(x₀) [xàx₀]                                          lim f(x₀+h)=f(x₀) [hà0]

Свойства непрерывных функций: Если f,g непрерывны в т. x₀ ,  то c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) тоже непрерывные функции.

Функция α называется бесконечно малой при x→x₀ , если lim α(x)=0 [xàx₀];

Функция f  называется бесконечно большой при xàx₀, если lim f(x)=∞ [xàx₀];

Лемма. Конечный предел f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-беск. малая)

Теорема. Сумма и произведение конечного числа бесконечно мылах функций, а также произведение бесконечно малой на ограниченную дает бесконечно малую.

Теорема. Если f(x)-бесконечно большая, то 1/f(x) – бесконечно малая.

Сравнение функций.

Если для функций f(x) и g(x) существует такое c>0, что для любых ч из окрестности x₀ выполняется неравенство |f(x)| ≤ c|g(x)|, то f называется ограниченной по сравнению с g. В этом случае f(x)=O(g(x), xàx₀)

Лемма. Если f(x) представима в виде f(x)=φ(x)*g(x), х из окрестности х₀ и существует конечный предел lim φ(x)≤ x< ∞, тогда  f(x)=O(g(x), xàx₀)

Лемма. Если существует конечный предел f(x)/g(x) не равный нулю, то f и g – функции одного порядка.

f(x) и g(x) называются эквивалентными, если существует φ(x), что в некоторой N(x₀) выполняется равенство f(x) = φ(x)*g(x), причем lim φ(x)=1 [xàx₀]. Поскольку существование предела функции в точке – локальное свойства, то поведение φ(x) вне N(x₀) роли не играет. Отношение эквивалентности симметрично, в отличие от отношения порядка.

α(x) называется бесконечно малой при xàx₀ по сравнению с f(x), если существует ε(x), что в некоторой N(x₀) для всех х выполняется равенство: α(x)=ε(x)*f(x); xàx₀ . При этом ε(x) удовлетворяет условию: lim ε(x)=0 [xàx₀]. Такие функции обозначаются следующим образом: α(x)=o(f(x), xàx₀).

Если некоторую f(x) заменяем g(x), то f(x)-g(x) будет абсолютной погрешностью, а

(f(x)-g(x))/f(x) будет относительной погрешностью.

Теорема. Для того, чтобы f(x) и g(x) были эквивалентны при xàx₀, необходимо и достаточно, f(x)=g(x)+o(g(x)); (из определения эквивалентности)

Вычисление пределов с помощью гл. части функции.

Пусть заданы α(x) и β(x). Если для любых x из N(x₀) ф-ию β(x)=α(x)+o(α(x)), то функция α(x) называется главной частью β(x). Главная часть функции определяется однозначно только, если задать вид главной части.

Лемма. Пусть x₀=limX; Х вложено в R; Если функция β(x):XàR, Обладает при xàx₀ главной частью вида A*(x-x₀)^k, А!=0, то среди всех главных частей такого вида она определена единственным образом.

Точки разрыва.

1.  Пусть f(x) опред. В N(x₀). Точка x₀ называется точкой разрыва функции, если f не определена в т.x₀ или определена, но не является в ней непрерывной.