Линейные операторы. Поля. Следствия из аксиом поля. Поле комплексных чисел

Список литературы (II семестр):

1.  Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.:         Наука, 1979.

2.  Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения. – М.: Высшая школа, 1971.

3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980.

4.  Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.

5.  Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Добросвет, 1998.

6.  Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. – М.: Наука, 1985.

7.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1999.

8.  Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1999.

9.  Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

10.  Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. – Мн.: Амалфея, 2001. – Ч.1, Ч.2.

11.  Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. – М.: Физматиз, 1966.

12.  Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – М.: Гардарики, 1999.

13.  Денисов В.И., Чубич В.М. Сборник задач по геометрии и алгебре. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – Ч.2 – 93с.

14.  Денисов В.И., Чубич В.М. Сборник задач по геометрии и алгебре. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – Ч.3 – 116с.

15.  Геометрия и алгебра: Метод. Указания/ Сост. В.С. Карманов, В.М Чубич; Новосиб. госуд. техн. университет. – Новосибирск, 2002. – 28с.   

Линейные операторы

Пусть X и Y – линейные пространства, заданные над одним и тем же полем F.

Определение. Правило, по которому каждому элементу хХ ставится в соответствие единственный элемент уY, называется оператором или преобразованием.

Результат применения оператора А к х обозначается у=А(х) или у=Ах.

Запись А:ХY значит, что оператор А действует из Х в Y или отображает Х в Y. При этом Х называется областью определения оператора А, у – образом х, а х – прообразом у. Образ оператора А или область значений оператора – совокупность всех уY, таких что у=А(х). Образ обозначают R(A).

R(A)={yY| y=Ax, хХ}.

Определение. Оператор A:XY называется линейным оператором, если

А(₁х₁+₂х₂) = ₁Ах₁+₂Ах_{2  1},₂F, х₁,х₂Х.

Если Х=Y, то линейный оператор называется оператором в Х.

Зафиксируем два линейных пространства Х и Y и рассмотрим множество w_XY всех линейных операторов, действующих их Х в Y и пусть А, В w_XY.

Определение. Два оператора А и В называются равными (пишут А=В), если

Ах=Вх   хХ

Определение. Суммой операторов А и В называется оператор С (пишут С=А+В), который определяется равенством

Сх = (А+В)х  Ах+Вх   хХ                                            (1)

Если А и В – два произвольных линейных оператора из w_XY, то их можно складывать, и результат снова будет принадлежать w_XY. Действительно,

C(₁х₁+₂х₂) = А(₁х₁+₂х₂) + В(₁х₁+₂х₂) = ₁Ах₁+₂Ах₂+₁Вх₁+₂Вх₂ = =₁(Ах₁+Вх₁)+ ₂(Ах₂+Вх₂) = ₁Сх₁+₂Сх_{2  1},₂F, х₁,х₂Х.

Таким образом, Сw_XY и операция сложения линейных операторов является алгебраической. Эта операция коммутативна и ассоциативна.  Действительно,

(А+В)х = Ах+Вх = Вх+Ах = (В+А)х   хХ, т.е. А+В = В+А.

((А+В)+С)х = (А+В)х +Сх = (Ах+Вх)+Сх = Ах+(Вх+Сх) = Ах +(В+С)х = =(А+(В+С))х  хХ, т.е. (А+В)+С = А +(В+С).

В w_XY  существует нулевой элемент, называемый нулевым оператором, который каждому хХ ставит в соответствие Y, т.е.

Ох =    хХ.

(А+О)х = Ах+Ох = Ах+ = Ах, т.е. А+О = А.

Для любого оператора А w_XY  существует противоположный оператор В; при этом

Вх = –АххХ.

Введем операцию умножения оператора на число:

Сх = (А)х (Ах)   хХ.        (2)

Покажем, что оператор С–линейный

C(₁х₁+₂х₂) = (А(₁х₁+₂х₂)) = (₁Ах₁+₂Ах₂) = (₁Ах₁)+(₂Ах₂) = =₁((Ах₁))+₂((Ах₂)) = ₁Сх₁+₂Сх_{2  1},₂F, х₁,х₂Х.

Легко проверить справедливость следующего утверждения:

Множество w_XY  всех линейных операторов, действующих их Х в Y, с введенными выше операциями сложения и умножения на число и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором, образует линейное пространство.

w_XХ– пространство линейных операторов в Х.

Рассмотрим линейные пространства Х, Y, Z над полем F. Пусть А:ХY, В:YZ. Оператор C:ХZ называется произведением оператора В на оператор А (пишут С = =ВА), если

Сх = (ВА)х = В(Ах)   хХ.                                                (3)

Произведение линейных операторов есть снова линейный оператор. Действительно,

C(₁х₁+₂х₂) = B(А(₁х₁+₂х₂)) = B(₁Ах₁+₂Ах₂) = ₁B(Aх₁)+₂B(Aх₂) = =₁(BА)х₁+₂(BА)х₂ = ₁Сх₁+₂Сх_{2  1},₂F, х₁,х₂Х.