Математика \ Геометрия и алгебра

Линейные операторы. Поля. Следствия из аксиом поля. Поле комплексных чисел, страница 3

(А + (–А))х =О х = 0 хХ.

Ядро нулевого оператора совпадает со всем Х.

Докажем, что оператор, обратный к невырожденному, будет также невырожденным.

А^-1у = А (А^-1у) = у = .

Для невырожденного оператора А

(А^r)^-1 = (A^-1)^r = A^-1A^-1…A^-1 = A^-r;

A^pA^-r = A^p-r = A^-rA^p.

Поля

Определение: Полем называется множество элементов F, для которых определены две алгебраические операции – сложение и умножение, так что сумма и произведение двух любых элементов ,F снова принадлежат F, т.е. сложение и умножение элементов не выводят из F, причем выполнены следующие условия (аксиомы поля):

А. 1. + = + ,F (коммутативность сложения);

2. (+)+=+(+) ,,F(ассоциативность сложения);

3. нулевой элемент F: F +=(существование нуля);

4. F противоположный элемент (–)F: +(–) = (существование противоположного элемента);

В. 1. = ,F (коммутативность умножения);

2. () = () ,,F(ассоциативность умножения);

3. единичный элемент 1F (1): 1= F;

4. F() обратный элемент ^-1F: ^-1 = 1;

С. (+) = + ,,F(умножение дистрибутивно относительно сложения).

Операции сложения и умножения для элементов поля являются алгебраическими, т.е. являются бинарными, однозначными и замкнутыми.

Следствия из аксиом поля:

В Fединственный нулевой элемент.

Доказательство:

Предположим, что это не так и два нулевых элемента ₁ и ₂. Тогда

₁ ₁+₂ ₂+₁ ₂.

F единственный противоположный элемент (–).

Доказательство:

Пусть имеется два противоположных элемента (–₁) и (–₂) для . Тогда

(–₁) (–₁)+ +(–₁) [+ (–₂)] + (–₁) +[ (–₂) + (–₁)]

=+[(–₁) + (–₂)] [+ (–₁)] + (–₂) +(–₂) (–₂)+ (–₂).

Обозначим +() = и назовем разностью элементов и . Операция вычитания обратна операции сложения.

– (+) = (–)+() ,F

Доказательство:

(–)+() +(+)[(–)+]+[(–)+]+.

В Fединственный единичный элемент.

Доказательство:

Предположим, что это не так и два единичных элемента 1₁ и 1₂. Тогда

1₁ 1₂1₁ 1₁1₂ 1₂ .

F () единственный обратный элемент ^-1.

Доказательство:

Пусть имеется два обратных элемента ₁^-1и ₂^-1для . Тогда

₁^-11₁^-1(₂^-1) ₁^-1(₂^-1)₁^-1 ₂^-1 (₁^-1)₂^-11 1₂^-1

= ₂^-1.

()^-1=^-1^-1 ,F (,).

Доказательство:

^-1^-1()^-1^-1()^-1(^-1)^-11^-11.

Обозначим ^-1= и назовем частным (отношением) и . Операция деления обратна операции умножения.

F =

Доказательство:

Учитывая, что

+1(+1) (1+)1;

+1+,

отсюда имеем:

₌₊.

+(–) = (+)+(–) +(+(–)) +

– = (-1)

Доказательство:

(-1)+ (-1)+1 [(-1)+1] ,

т.е (-1) = –.

Примеры полей

1. Поле рациональных чисел (pи q0 – целые числа) с обычными арифметическими операциями.

2. Целые числа не образуют поле, т.к. при делении мы выходим из множества.

3. Множество действительных чисел R является полем.

4. Множество комплексных чисел Cобразует поле.

Если ,Cи =(a,b),=(c,d), то

+ = (a+c, b+d), =(ac–bd, ad+bc), где a,b,c,d R.

Все аксиомы поля в C выполняются. C является расширением R, т.к. (a,0)Cсоответствует aR . При этом уравнение z²+1=0 имеет в C два корня z₁=(0,1) и z₂=(0,–1). Действительно,

z₁²= (0,1)(0,1) = (00 – 11, 01+10)=(–1,0) и z₂²= (0,–1)(0,–1) =

= (00 –(–1)(–1), 0(–1)+( –1)0)=(–1,0).

Можно показать, что алгебраическое уравнение n-й степени

f_n(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + … + a₀ = 0 (a_n0)

в поле комплексных чисел имеет ровно n корней (основная теорема алгебры), причем если ₁, ₂,…,_m– корни многочлена f_n(x) кратностей k₁, k₂,…, k_m соответственно, то справедливо разложение

f_n(x) = a_n(x–₁)(x–₂)… (x–_m) и k₁+k₂+…+k_m = n.

Если комплексное число =(a,b) служит корнем многочлена g(x) с действительными коэффициентами, то сопряженное число =(a,–b) также будет корнем многочлена g(x), который будет делиться на неприводимый (или неразложимый) полином с действительными коэффициентами