= (a+(c+e),b+(d+f)) =
(a,b)+(c+e,d+f) = (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= 
+(
+
).
3. Существование нуля:
=(x,y);
+ = (a,b)+(x,y) = (a+x,b+y) = = (a,b);
Отсюда х=0, у=0 и =(0,0)
C .
4. Существование противоположного элемента:
(–)=(x,y);
+(–) = (a,b)+(x,y)
= (a+x,b+y)==(0,0);
Отсюда x = –a, y = –b и –= (–a, –b) C .
B. Аксиомы умножения.
1. Коммутативность умножения:
=
(a,b)(c,d) = (ac – bd,ad+bc);
=
(c,d)(a,b) = (ca – db,cb+da)= (ac – bd,ad+bc) = 
.
2. Ассоциативность умножения:
=
[(a,b)(c,d)](e,f) = (ac–bd, ad+bc)(e,f) = ((ac–bd)e–(ad+bc)f,(ac–
–bd)f+(ad+bc)e) = (ace – bde – adf – bcf, acf+ade+bce – bdf);
= (a,b)[(c,d)(e,f)]= (a,b)(ce – df, cf+ed) = (a(ce –
df) – b(cf+ed), b(ce –
–df)+a(cf+ed)) = (ace – adf – bcf – bcd,
acf+aed+bce – bdf) = 
;
3. Существование единичного элемента
1 = (x,y);
1
=
(x,y)(a,b) = (xa – yb, xb+ya) = 
=
(a,b); 
C
Из 2-го уравнения y
, a
0. Подставляем
в 1-е уравнение
xa – yb = xa – 
b = ax+
x
– =(a+)x
– = a;
x
= ;
x = 1; y =
=
0;
1 = (1,0) 
C
4. Существование обратного элемента:
=
(x,y);
=
(a,b)(x,y) = (ax – by, ay+bx) = 1 = (1,0);
Из 2-го уравнения y = – 
x, a0. Подставим
в 1-е уравнение:
ax – by = ax – b(–x)
= ax+
x
= x
= 1;
x
= 
;
y
= – x = – 
= – 
;
= (
– ) )C.
C. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
=
(a,b)[(c,d)+(e,f)] = (a,b)(c+e, d+f) = (a(c+e)–b(d+f), b(c+e)+a(d+f))=
= (ac+ae – bd – bf, bc+be+ad+af);
=
(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) = (ac – bd, ad+bc)+(ae – bf, af+be) =
= (ac+ae – bd – bf,
ad+bc+af+be) = .
Таким образом, множество комплексных чисел Cявляется полем.
Положим
i = (0,1);
i2 = (0,1)
(0,1)
= (0 – 1, 0+0) = (-1,0);
=
(a,b) = (a,0)+(0,b) = a(1,0)+b(0,1) = a+bi;
 |
= a+bi– запись
комплексного числа в алгебраической форме, причем
a
= Re – действительная
часть числа ;
b
= Im – мнимая
часть .
Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i;
(a+bi) – (c+di) = (a – c)+(b – d)i;
(a+bi)(c+di) = (ac – bd)+(ad+bc)i;
= 
+
i.
Комплексные числа
принято изображать на комплексной плоскости:
|
Если 
,
то arg =
=
a+bi = rcos
+irsin =
r(cos+isin)
= r(cos+isin) –запись комплексного числа в тригонометрической форме.
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме
=[
(cos
+isin)][
(cos
+isin)]=
[(coscos–sinsin)+
+i(sincos–cossin)]=
[cos(+)+isin(+)],
т.е.
|| = |
|
|
|,
arg() = arg+arg.
Выполним деление комплексных чисел в тригонометрической форме
=
=
=
= 
=
= [cos(
)+isin()].
Отсюда
 |
= 
,
arg() = arg – arg.
Число 
= a
– bi сопряжено
к числу = a+bi,
||= ||, arg = – arg.
Сумма и произведение комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.
Можно показать, что
=
+
, +
=
2a;
=
–,
=
a2+b2 = ||2;
=
, -1 = r
-1(cos(–)+isin(–)).
=
;
Заметим, что сумма в определителе имеет n! слагаемых. Действительно, i1можно
выбрать n способами, i2 – (n–1) способом, …, n! = n(n–1) …21.
Таким образом, определитель Dсостоит из n! членов вида (1), которые берутся со знаком «+», если N(i1, i2, …, in) четно, и со знаком «–», если N(i1, i2, …, in) нечетно.
Примеры
1. 
=
11
22
(-1)N(1,2) + 2112
(-1)N(2,1) = 
=1122 –2112.
2. 
=
112233 (–1)N(1,2,3
) + 113223 (–1)N(1,3,2)
+
+211233(–1)N(2,1,3)
+ 213213 (–1)N(2,3,1)
+ 311223 (–1)N(3,1,2) +312213 (-1)N(3,2,1)
= 
=112233 –
–113223 – 211233 +213213 + 311223 – 
312213.
Правило треугольников:
|
«+» |
«–» |
|
|
|
Замечание к правилу определения знака члена определителя
В соответствии с нумерацией элементов матриц будем
считать положительными направлениями для строк – слева направо, для столбцов – сверху
вниз. Отрезки, соединяющие два каких-либо элемента матриц, также могут
указывать направления: будем говорить, что отрезок, соединяющий элемент ij с элементом kl, имеет положительный
наклон, если его правый конец расположен ниже левого, и отрицательный наклон,
если его правый конец лежит выше, чем левый. Мысленно проведем все отрезки,
соединяющие попарно элементы 
, 
, …, 
произведения (1), имеющие отрицательный наклон
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
–модуль
или 
