Дифференциальные уравнения. Часть I: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы, страница 6

.

Перейдем от функции  к обратной функции [2]:  – это линейное ДУ первого порядка. Перепишем его в виде

 

и решим методом вариации постоянной.

Общее решение однородного ДУ : . Тогда решение неоднородного ДУ: . Подставим решение в исходное уравнение и получим соотношение для определения неизвестной функции : . Тогда , а . Решение уравнения Клеро в параметрическом виде , .

3. Уравнение  – уравнение нелинейное относительно , перейдем к функции : . Перепишем  ДУ в виде  – это уравнение Бернулли. Замена переменных , тогда ДУ примет вид  – неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем методом вариации постоянной. Решение однородного ДУ :  . Тогда решение неоднородного ДУ:  . Подставляя решение в неоднородное ДУ, получаем  или . Общее решение неоднородного уравнения:   или .

4. Уравнение  – ДУ второго порядка, допускающее понижение порядка. Проверим выполнение условий однородности [3]: при замене  уравнение примет вид , где k – постоянная величина. Уравнение однородно, значит, замена  понижает порядок уравнения на единицу. Вычислим ,   и подставим эти выражения в исходное уравнение. После приведения подобных получаем ДУ . Общее решение этого уравнения , тогда  .

5. Уравнение  – это уравнение Риккати. Определим частное решение в виде правой части: . Подстановка в ДУ позволяет найти параметр  , т. е. . Тогда частное решение: . Общее решение . Подставляя решение в уравнение Риккати, получаем  – это уравнение Бернулли. Используя прием из пункта 3, решаем уравнение Бернулли. Общее решение: .

6. Правая часть уравнения  – функция, непрерывная для всех . Общее решение ДУ: . Интегральная кривая имеет горизонтальную асимптоту . Условие теоремы существования и единственности выполнено на всей действительной прямой, кроме точки . Обратное уравнение: , общее решение: . Прямая  – частное решение обратного уравнения.

II. Решить неоднородную систему дифференциальных
уравнений:

1) методом вариации постоянной

Пусть дана система ДУ , где .

Собственные значения матрицы A: . Собственный вектор для  – , собственный и присоединенный векторы для : . Тогда матрица перехода  и жорданова форма матрицы A имеет вид . Сделаем замену  в однородной СЛДУ   и получим систему линейных дифференциальных уравнений: . Общее решение однородной системы:

Фундаментальная система решений .

Тогда решение неоднородной системы ДУ: , .

.

Тогда ,  , .   Общее    решение    неоднородной

линейной системы ДУ:  ;

2) методом Коши

Пусть дана система ДУ , где .

Собственные значения матрицы A: . Собственные векторы: , , . Нормальная система фундаментальных решений соответствующей однородной задачи  определяется следующим образом:

, , .

Нормальная фундаментальная система решений для сопряженной задачи , где собственные значения и собственные векторы матрицы  имеют вид ; , , , состоит из вектор-функций  , , .

Проверим выполнение условий ортогональности: , , , , , , , . Неизвестные функции  определяются выражением  . Тогда  ,

, .

Общее решение неоднородной системы ДУ:

.

III. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка методом вариации постоянной:

1) .

Решение однородного уравнения  ищем в виде . Характеристическое уравнение  имеет корни . Тогда общее решение однородного ДУ:  . Решение неоднородного ДУ: . В соответствии с идеей метода вариации постоянной [1] получаем условия для определения неизвестных функций :

. Решая эту систему, определяем ,  .

Общее решение неоднородного ДУ:  ;

2) .

Это уравнение Эйлера [3], сделаем замену , тогда ДУ примет вид . Будем искать решение соответствующего однородного уравнения в виде . Характеристическое уравнение:  , его корни . Согласно теореме о действительном операторе [1] частные решения однородного ДУ определяются соотношением . Тогда общее решение неоднородного ДУ: . Аналогично пункту 3.1 получаем условия для определения неизвестных функций   . Решение этой системы  . Общее решение неоднородного ДУ:   или .