Дифференциальные уравнения. Часть I: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы, страница 2

Определение. Уравнения

, (3)

называются уравнениями, не разрешенными относительно производной. В уравнении (3) функция обычно считается параметром и обозначается . Так как функция в общем случае нелинейна по параметру , то уравнение (3) при определенных условиях эквивалентно некоторому множеству (возможно, бесконечному) уравнений вида

(4)

Достаточные условия приведения уравнения (3) к виду (4) сформулированы в теореме.

Теорема существования и единственности. Пусть в некотором параллелепипеде с центром в точке функция непрерывна по совокупности переменных вместе с частными производными , причем

. (5)

Тогда на некотором сегменте существует единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (2), производная которого .

Замечание. Тройка удовлетворяет уравнению (3). Если уравнение (3) можно разрешить относительно параметра , т. е. привести к виду (4), то его решение ищется как для уравнения, разрешенного относительно производной. В случае, когда уравнение (3) неприводимо к виду (4), можно воспользоваться методом введения параметра. Рассмотрим уравнение как уравнение поверхности в трехмерном пространстве .

Сделаем замену переменных: . Тогда, так как , то

Выражая из последнего соотношения , получаем уравнение, разрешенное относительно производной. Особый интерес представляют два частных случая уравнений, не разрешенных относительно производной [2].

1. Если исходное уравнение можно разрешить относительно : , то считая, параметрами и , получаем . Подставляя это соотношение в исходное уравнение, получаем уравнение, разрешенное относительно производной: . Наиболее известные уравнения такого типа – это уравнения Клеро и Лагранжа.

Уравнение Лагранжа: .

Уравнение Клеро: .

2. Если исходное уравнение можно разрешить относительно : , то, выбрав в качестве параметров и , получим дифференциальное уравнение .

Определение. Множество точек в пространстве , в которых нарушается условие (5) теоремы существования и единственности, задается уравнениями:

, . (6)

Кривая, определяемая условиями (6), называется дискриминантной кривой. Этой кривой принадлежат все особые точки уравнения (3). Кривая, описываемая уравнениями (6), – множество точек, определяющее особое решение уравнения (3).

II. Системы линейных
дифференциальных уравнений

Однородные системы
линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородную линейную систему дифференциальных уравнений (ОСДУ)

, (1)

где A – матрица с постоянными коэффициентами , Y – неизвестная вектор-функция . Общее решение системы имеет вид , где C – вектор произвольных постоянных [1].

Согласно теореме о приведении матрицы к квазидиагональному виду [3] матрица A может быть представлена следующим образом: , где J – жорданова форма матрицы A; S – матрица, составленная из собственных и присоединенных векторов матрицы A. Тогда систему (1) можно записать как или . Сделаем замену переменных и запишем ОСДУ покомпонентно для случая, когда J – одна жорданова клетка размерности :

;

.... ....

;

Решая эту систему, получим: , , ..., . Тогда общее решение ОЛСДУ: .

Если все собственные значения матрицы A действительны и различны, то общее решение ОЛСДУ , где – произвольные постоянные; – собственные векторы матрицы A; – собственные значения матрицы A.

Если матрица A вещественная, и среди ее собственных значений есть комплексно-сопряженные, то частными решениями ОЛСДУ будут не только решения , но и решения вида и [1].