Сигналы. Классификация и терминология. Периодические сигналы. Дискретные спектры. Непериодические сигналы. Сплошные спектры. Идеализированные сигналы. Обобщённые спектры, страница 2

Формулы (2.5) часто получают из формулы (2.1) комплексного ряда Фурье для периодических сигналов, устремляя период к бесконечности ().
Тогда: ;  - текущая частота; , но .

2.3.1.  Полезные свойства преобразования Фурье.

1. Симметрия прямого и обратного преобразования.

2. Если функция  вещественна, то  есть чётная функция частоты , а  - нечётна. Как следствие,  - чётная функция ,  - нечётная

3. Для вещественной функции  обратное преобразование может быть выполнено только по положительным частотам.  .

.
Как и в ряде Фурье, отрицательные частоты появляются при комплексной форме записи, но такая форма, обычно, удобнее.

4. Линейность преобразования.   Если , а , то
 имеет спектр . Очень важное свойство.

5. Масштабное преобразование.  Если , то каков спектр сигнала , где  вещественно и положительно? Ответ: . При сжатии сигнала спектр расширяется.

6. Спектр производной. Если  дает , то каков спектр сигнала ? Ответ: . Поэтому множитель  называют оператором дифференцирования. Внеинтегральный член при интегрировании по частям исчезает за счет убывания , при .

.

7. Если , то каков спектр сигнала ? Ответ: , т.е.  есть оператор интегрирования. Доказательство основывается на предыдущем свойстве, поскольку .

8. Если , то каков спектр запаздывающего сигнала ?

  .  (2.6)
При запаздывании сигнала на время , спектр умножается на . Меняются только фазы гармонических составляющих;  не меняется. Очень важное свойство.

9. Если , то каков спектр сигнала ?

. Произошёл сдвиг спектра. Последние два свойства иллюстрируют симметрию преобразования Фурье.

10. Если  и , то какому сигналу соответствует произведение спектров ?

.
В итоге, произведение спектров соответствует свертке функции  и .
В силу симметрии преобразования, спектр произведения функции , есть свёртка спектров  и .  .

2.3.2.  Энергетические соотношения.

1. Периодические сигналы. Напишем среднюю за период мощность на единичном сопротивлении ( - напряжение или ток). .  есть среднеквадратичное или эффективное значение . Теперь выразим  через амплитуды гармоник.

 
Последнее равенство есть математическое условие полноты или замкнутости системы тригонометрических функций. Физический смысл этого равенства таков. Средняя мощность сигнала  равна сумме средних мощностей отдельных гармоник. Для доказательства этого равенства надо перемножить ряды и учесть ортогональность отдельных гармоник. , если . Когда , интеграл дает . Таких интегралов будет два ().

2. Непериодические сигналы. Теперь рассмотрим полную энергию сигнала на единичном сопротивлении. Для реальных сигналов эта величина должна быть
конечной. 

.
Получили известное в математике равенство Парсеваля. С физических позиций опять получилась аддитивность энергии отдельных гармонических составляющих. Величина  есть спектральная плотность энергии.

2.4.1.  Примеры спектров видеоимпульсов. Прямоугольный импульс.

. Рис.2.7. , (2.7)
где . Функция  очень часто встречается в физических приложениях. Спектр прямоугольного импульса изображён на рис. 2.8. Произведение  есть “площадь” импульса.

Для характерных спектров подобного типа за ширину спектра сигнала часто принимают интервал  до первого нуля функции . В данном случае . Отсюда  или  . Очень простое соотношение. Здесь  - это уже обычная частота (в Герцах). Чем короче импульс, тем шире его спектр. Следовательно, чем быстрее и больше мы хотим передать информации, тем короче должны быть импульсы при её кодировании, тем шире будет спектр такого сообщения.

Если мы будем повторять этот импульс с периодом , то в пределе получим периодическую последовательность импульсов и линейчатый спектр (гармоники). Можно найти амплитуду гармоник , зная ? Очень легко.

                               (2.8)
Линии спектра окажутся как бы вписанными в изображённую функцию. Чем больше период, тем чаще будут идти линии. Поэтому в учебниках изображают и анализируют подробно именно спектры одиночных импульсов.