Свойства диэлектрической проницаемости и волнового числа. Распространение переднего фронта нестационарной волны

10.6-А. Свойства диэлектрической проницаемости  и волнового числа. Исследуем зависимость от частоты параметров  и .

Для фазовой скорости имеем представление

                                    .

Функция  связана с относительной комплексной диэлектрической проницаемостью изотропной среды с пространственной дисперсией формулой

                                                .

Имеет место представление Фурье для процесса, начинающегося в момент времени  ( при ):

.          

В среде без пространственной дисперсии функция  обладает свойствами:

                        .

Выше отмечалось, что любая среда для достаточно высоких частот ведет себя как вакуум.  В этой области частот, пренебрегая пространственной дисперсией, воспользуемся разложением

            .                     (10.28)

В квадратных скобках формулы (10.28) отсутствует слагаемое вида . При этом в пределе  имеем ,  . Если бы в (10.28) присутствовал член , то имело бы место представление  при . Последнее представление противоречило бы закономерности  при .

10.7. Распространение переднего фронта нестационарной волны. Интегральное представление одномерного нестационарной волны, распространяющейся в направлении  и соответствующей одному из типов волн в однородной среде ( - корень дисперсионного уравнения ). В среде с потерями для такой волны .

                                    ,                         (10.29)

Где функция  имеет передний на уровне :

.

Согласно (10.29) имеем представление

.                                           

Особые точки подынтегральной функции в (10.29) лежат в нижней полуплоскости . Это обеспечивает выполнение принципа причинности (поле возникает только после включения источника). Соотношение (10.29) представляется в виде

,            (10.30)

,

Где  называется импульсной функцией:

,            (10.31)

она обладает свойством  ( - дельта функция Дирака).

Покажем, что импульсная функция удовлетворяет принципу причинности. Особые точки функции  для пассивных сред расположены в нижней полуплоскости. Выясним, при каких значениях аргумента  импульсная функция станет отличной от нуля. При больших значениях , в области замыкания контура интегрирования на бесконечности, можно воспользоваться разложением (10.28) и будем иметь приближенное представление экспоненты

                        .

Это представление не используется при вычислении интеграла в (10.31), оно используется только для определения возможности замыкания контура при .

При выполнении условия  имеется возможность замкнуть контур интегрирования на бесконечности в верхней полуплоскости . Так как внутри такого контура нет особых точек, то

                                     при ,    .             (10.32)

Если , то можно замыкать контур интегрирования на бесконечности в нижней полуплоскости . Наличие особых точек в нижней полуплоскости обеспечивает

 при .                                    (10.33)

Покажем, что передний фронт нестационарной волны  движется со скоростью . Свойства (10.32), (10.33) позволяют поле  представить в виде

                                    .                                (10.34)

Поле  при , так как интегрирование в формуле (10.34) проходит в области отрицательных значений переменной , где по условию включения . Это соответствует тому, что волновой процесс, порожденный полем  еще не достиг уровня . Поле  обладает свойством причинности:

                                                                                (10.35)

это свидетельство того, что передний фронт нестационарного поля в любой среде распространяется со скоростью света в вакууме. Отдельные характерные точки (нули, максимумы,…) поля могут перемещаться со скоростью большей, чем , однако они тормозятся при приближении к фронту и не могут обогнать его.

10.8. Теоремы единственности для стационарных задач. Докажем теоремы единственности решения уравнений Максвелла для комплексных амплитуд стационарных полей в неоднородных изотропных средах с потерями. Исходные уравнения для комплексных амплитуд имеют вид

                                                                                                (10.36)

                                                ,                                     (10.37)

где ,      . Существуют два типа задач: внутренние и внешние.

            В случае внутренних задач по заданному стороннему току  ищутся поля  внутри объема  (Рис. 10.3). На границе  этого объема задаются условия для касательных составляющих полей

                                                                    (10.38)

где поверхности  и  могут перекрываться. Докажем, что решение системы (10.36), (10.37) с условиями (10.38) единственно. Для этого допустим, что  и  два различных решения задачи. Тогда разностное решение  должно удовлетворять системе (10.36), (10.37) без стороннего источника и это разностное решение удовлетворяет нулевым граничным условиям

       .                                          (10.39)

Для этого поля напишем известное энергетическое соотношение