Свойства диэлектрической проницаемости и волнового числа. Распространение переднего фронта нестационарной волны, страница 5

            2). Фронт падающей волны не плоский, но отличие от плоской волны слабое. Рассмотрим поле точечного источника (Рис.10.8). Пусть  - расстояние от источника до участка , где рассматриваются граничные условия. Если , то фронт волны почти плоский. Если дополнительно справедливо , то на участке  во второй среде волна пойдет почти перпендикулярно к границе. Таким образом, на участке  при  амплитуда поля на границе почти постоянна и выполняются условия применимости для использования (10.44).

10.11. Потенциалы в электродинамике.

1. Часто при решении задач электродинамики, оказывается, удобно перейти от рассмотрения полей к исследованию вспомогательных функций – векторному и скалярному потенциалам. Возьмем уравнения Максвелла в форме

                                                                                                  (10.45)

                                                                                  (10.46)

                                                                                                        (10.47)

                                                                                          (10.48)

Векторный потенциал  вводится на основе (10.47) определением . Из (10.45) получаем

                                                                                           (10.48А)

где  произвольная функция координат и времени. Для сред без дисперсии, когда , , уравнение (10.46) приводится к виду

                                    .

Или

                                    .                (10.49)

Учитывая произвольность функции , можно выбрать ее на основе условия, называемого калибровкой Лоренца:

                                                ,

тогда (10.49) приводится к уравнению для векторного потенциала                             

                                    .                    (10.50)

Используя уравнение (10.48) и условие калибровки Лоренца, получим уравнение для скалярного потенциала

                                    .              (10.51)

Для комплексных амплитуд гармонических полей получаются равнения

                                                                                           (10.52)

                                                                                        (10.53)

где  - волновое число. Уравнения (10.50), (10.51) применимы для сред без дисперсии. Уравнения (10.52), (10.53) описывают не сами поля, а только их комплексные амплитуды (они также описывают фурье – образы полей), применимы эти уравнения для сред с временной (частотной) дисперсией при , но при отсутствии пространственной дисперсии.

            2. Вместо калибровки Лоренца можно использовать другую калибровку.

На основе (10.48) и (10.48А) для среды без дисперсии имеем

                                    .                                       (10.53.А)

Потенциал  выберем так, чтобы имело место уравнение электростатики

                                                   (10.54)

При этом калибровка Кулона следует из (10.53.А)

                                                ,                                                        (10.55)

при этом получается следующее уравнение для векторного потенциала

                                                ,                             (10.56)

В уравнения для потенциалов (10.50), (10.51) и (10.54), (10.56) входят дополнительные неизвестные функции . Для замыкания системы необходимы уравнения, описывающие .

3.  Вместо уравнений (10.46), (10.48) можно использовать другую их эквивалентную форму

                                                           

                                                           

Для изотропных сред без дисперсии имеется локальная алгебраическая связь . В такой ситуации уравнения для потенциалов с калибровкой Лоренца имеют вид

                                                .