Компьютерное моделирование внешней зоны униполярного коронного разряда. Метод Дейча-Попкова. Коронный разряд в системе коаксиальных цилиндров, страница 4

Коаксиальные цилиндры являются простейшей системой электродов, для которой уравнения (1)—(4) могут быть проинтегрированы непосредственно. В этой системе электродов метод Дейча – Попкова должен давать точные результаты, т.к. здесь, в силу симметрии задачи, силовые линии при коронном разряде не отличаются от электростатических. Принимая во внимание, что в цилиндрических координатах напряженность поля зависит только от текущего радиуса, можно записать для уравнения (1):

      (25)

Обозначим через I ток короны на единицу длины электрода, тогда I= 2prJ0. Уравнение неразрывности (3) представим в виде:

    (26).

Уравнение (4), запишем в виде r=I/(2prbЕ). После подстановки последнего соотношения в (25) оно превратилось в урав­нение, которое легко интег­рируется:

       (27)

В результате получаем выражение для напряженности электрического поля:

      (28)

В этой формуле второй член в подкоренном выражении является маленькой поправкой. Он определяет поле в непосредственной близости от коронирующего электрода. Из решения системы (1-4) также может быть получено выражение для вольтамперной характеристики [1]:

      (29)

где: I = I/Iб,

Ниже представлены результаты аналитического решения задачи об униполярном коронном разряде в системе коаксиальных цилиндров средствами MathCad:

Из формулы 2.20 следует, что при достаточно малом значении I задача становится линейной, что наглядно видно из приведенных ниже графиков.

Коронный разряд в системе электродов сфера – сфера.

В системе электродов, состоящей из двух концентрических сфер, уравнения коронного разряда так же могут быть решены аналитически. В такой геометрии электродов напряженность электрического поля зависит только от текущего радиуса. Уравнение (1) переписывается как:

   (32)

Пусть I полный ток с коронирующего электрода, тогда плотность тока выражается как:

    (33)

Выражая плотность объемного заряда из (4) и подставляя его в (32) с учетом (33) получаем уравнение:

  (34)

Решая уравнение (34) получаем выражение для напряженности электрического поля:

      (35)

Плотность объемного заряда можно тогда выразить как:

      (36)

Эта система электродов интересна тем, что в отличие от всех систем, рассмотренных ранее, в ней все величины имеют более сильную расходимость. Как и в системе коаксиальных цилиндров метод Дейча – Попкова дает результаты, которые отличаются от аналитического решения менее чем на 1% как по напряженности электрического поля, так и по плотности объемного заряда. Это подтверждает применимость метода для моделирования коронного разряда.

Рис. 17  Распределения напряженности электрического поля (слева) и плотности объемного заряда (справа) при коронном разряде между концентрическими сферами.

Красная линия – аналитическое решение.

Синяя линия – расчет методом Дейча – Попкова.  

Было проведено сравнение распределений напряженности и потенциала электрического поля в системах цилиндр-цилиндр, провод – плоскость и концентрические сферы. Результаты представлены на рис. 18 - 19. Для системы провод плоскость была выбрана силовая линия выходящая под углом 00. Для всех систем U = 70 кВ, расстояние между электродами 10 см, радиус коронирующего электрода 2,5 мм.

Рис. 18  Сравнение распределение напряженности электрического поля в различных системах электродов: Е(у) – коаксиальные цилиндры, Eans – провод над плоскостью, EkSp – концентрические сферы.

Рис. 19  Сравнение распределений плотности объемного заряда в различных системах электродов: p1(у) – коаксиальные цилиндры, Pans – провод над плоскостью, PSp – концентрические сферы.