Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 6

11.4. Оптико–механическая аналогия: взаимосвязь между принципами Ферма и Мопертюи. Постоянная Планка, длина волны де Бройля. Уравнение Шреденгера. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Радиус Бора Луч в геометрической оптике подобен траектории материальной частицы в механике. Существует аналогия между принципом Ферма в геометрической оптике и принципом Мопертюи в механике. Принцип Ферма утверждает минимальность оптического пути высокочастотного электромагнитного поля (света). Интеграл, взятый вдоль луча между двумя точками минимален по сравнению с оптическим путем, вычисленным вдоль любой другой кривой, соединяющей те же точки  и 2:

                                                ,

где  - волновой вектор,  - частота волны, , волновой вектор направлен по касательной к лучу.

Принцип Мопертюи утверждает минимальность интеграла действия

                                                ,

взятого вдоль истинной траектории частицы, по сравнению с таким же интегралом, взятом вдоль любой другой кривой, соединяющей те же две точки.

Уравнение движения частицы в потенциальном поле в нерелятивистском случае имеет вид

                                               

Здесь  - масса частицы,  - потенциальная энергия.

Так как  (здесь штрихом обозначена производная по времени), то из уравнения движения следует закон сохранения энергии

                                                ,

или

                                                .

 - импульс частицы, он направлен по касательной к траектории частицы,  - энергия частицы.

Имеет место аналогия . Аналогом материальной точки в механике является волновой пакет в геометрической оптике. Должна иметься аналогия  ( - скорость частицы), . Отсюда следует аналогия . Количественная формулировка оптико-механической аналогии выглядит следующим образом

                                    ,

где  - постоянная Планка. В частности имеем  или  - длина волны де Бройля. Фазовая скорость имеет представление . Волновому уравнению в электродинамике сопоставим аналогичное волновое уравнение для механики

                                                ,

где  - волновая функция, описывающая монохроматическую волну , для которой волновое уравнение приводится к виду уравнения с переменным коэффициентом :

                                    .

Это уравнение Шреденгера для комплексной амплитуды волновой функции в квантовой механике. Величина  описывает распределение вероятностей нахождения частицы в том или ином месте пространства. Возникает вопрос, почему имеет место квантование? Это обусловлено тем, что при заданной потенциальной энергии  уравнение Шредингера допускает решение не при всех, а только при определенных значениях энергии . Этот набор энергий называется спектром энергий. Спектр может быть дискретным (наличие квантования) и может быть сплошным. Если в качестве примера взять  (это соответствует потенциальной энергии электрона в поле протона), то можно получить энергетический спектр атома водорода.

            Для волнового пакета (квазимонохромата) имели место соотношения

                                    .

Аналогами их в квантовой механике будут соотношения неопределенности Гейзенберга

                                    .

Если частица локализована в интервале  по оси , то проекция ее импульса на эту ось не может иметь определенного значения, а лежит в интервале  при выполнении условия  (аналогично для осей  и ). Если частица нестационарна в течение времени , то это состояние не может быть моноэнергетическим. Мера немоноэнергетичности  связана с  соотношением Гейзенберга.

            Оценку величины радиуса самого легкого атома – атома водорода можно получить на основе предельной ситуации, заменяя неравенство Гейзенберга равенством , сделав дополнительно четыре допущения: