Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 2

                                                                                                     (11.4)

где , и . В результате из определения (11.4) получается уравнение эйконала (11.3).

Поверхности равной фазы  носят название волновых поверхностей. Будем искать решение уравнения эйконала (11.3) в виде суммы трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты

                                    .

При этом уравнение эйконала принимает вид

                                    .

В левой части этого уравнения стоят функции не зависящие от , а в правой части функции зависят от . Это может быть только в том случае, когда эти функции являются постоянными величинами.

Ведя обозначения , , получим решение в виде

                                    .

Значение  соответствует точке внутри источника. Для нахождения входящих в это выражение постоянных величин воспользуемся тем, что в малой окрестности источника среду можно считать однородной . Здесь эйконал должен совпадать с эйконалом плоской волны, распространяющейся в направлении волнового вектора

                                                ,

где  - направляющие косинусы вектора . Для волны, распространяющейся в сторону увеличения значений координат, имеем

                        .

Вращением системы координат вокруг оси  можно добиться того, что . Вместо угла  введем в рассмотрение угол выхода волны (луча) (Рис.11.1)  и получим

                                    .                                    (11.5)

Введем единичный вектор , ортогональный поверхностям равной фазы . В среде без потерь согласно уравнению эйконала (11.3) имеем представление . Линия, в каждой точке которой вектор  касателен, называется лучом. Существует другое определение луча: луч это геометрическое место точек с максимальным значением поля. Без доказательства отметим, что в изотропной среде оба определения эквивалентны. В случае анизотропных сред эти два определения дают различные лини (траектории). В каждой точке луча в изотропной среде имеем

                                    ,

где  - угол между лучом и осью  в данной точке луча.

С другой стороны, при учете (11.5) имеем представление для среды без потерь

                                    .

Значит, справедливы формулы, дающие закон Снеллиуса для неоднородной среды

                                    .

2). Получим уравнение, описывающее траекторию луча, для этого выделим элемент  этой траектории. Так как , то имеет место

                                    .

Интегрируя это соотношение, получим уравнение, описывающее траекторию луча

                                               

Уравнение луча может использоваться для различных целей.

1.  Оно пригодно для построения зависимости  при заданном значении угла выхода луча .

2.  По заданным координатам точек наблюдения и источника, можно найти угол выхода луча . В этой задаче находится такой угол выхода луча , при котором луч «выйдя» из источника попадет в точку наблюдения. Следует отметить , что эта задача может иметь несколько решений: в точку наблюдения может попадать несколько лучей от одного источника.

При распространении волны в неоднородной среде происходит «искривление» луча. Возможен «поворот» луча. Точкой поворота луча в среде с зависимостью , называется наивысшая точка на траектории луча (Рис.11.2). В этой точке угол выхода луча становится прямым , поэтому . Соотношение  можно использовать для нахождения  высоты точки поворота луча , вышедшего из источника под углом . Горизонтальная координата точки поворота определяется интегралом

                                                           

Геометро - оптическое приближение поля имеет вид

                                    .