Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 5

Соответствующая кривая изображена сплошной линией на Рис.11.7 в плоскости . Геометрическое место точек поворота в этой плоскости является эллипсом

         .

            Определим положение каустики в плоскости  из системы уравнений

                                                ,

которая приводится к виду

                                                .

Исключая угол  из этой системы, получим уравнение каустики

                                                .

Линия каустики в плоскости  является параболой с вершиной при . Она изображена штриховой линией на Рис.11.7, 11.8 и 11.9. На Рис.11.8 показана качественная картина семейства лучей для линейного профиля неоднородности среды. Каустика в этом случае разделяет пространство на область «тени» (в ней нет лучей) и «освещенную» область, в которой в каждую точку приходят от источника два луча. На Рис.11.9 сплошными линиями показано семейство поверхностей равной фазы. «Яйцеобразный» вид фазовых поверхностей в начальные моменты времени, (пока лучи еще не достигли каустики), связан с тем, что фазовая скорость волны в направлении возрастания  оказывается больше, чем в противоположном направлении.

            2). В случае полу бесконечного линейного слоя в области , граничащего с однородным полу пространством  (Рис.11.10). Функция  имеет вид

                                                .

Форма каустики усложняется. Вместо гладкой формы, теперь возможно появление каустик с особенностями в виде «петли» с двумя точками заострения («ласточкин хвост»). Форма каустики при этом зависит от положения точечного источника (). В области  среда однородная и лучи здесь представляют собой прямые линии. В области  профиль неоднородности линейный и лучи здесь имеют вид отрезков парабол. Не приводя формул для описания геометрического места точек поворота и каустики, отметим основные закономерности лучевой картины. Оказывается, что каустика имеет гладкую форму, если источник расположен либо ниже уровня , либо выше уровня . При условии  на каустике имеются точки заострения, ограничивающие каустическую петлю. Эволюция формы каустики при изменении высоты положения источника показана  на Рис.11.11. При  и  петля на каустике стягивается в каустические фокусы  и . Через каждую точку внутри каустической петли проходит четыре различных луча. (три луча, претерпевших поворот и один луч - прямой). Поясним появление петлеобразной каустики. Рассмотрим форму линии, изображающей геометрическое место точек поворота лучей. При условии  или  (такая ситуация на Рис.11.12 и 11.13 отмечена буквой ) линия геометрического места точек поворота в плоскости  является монотонной (Рис.11.12). Монотонной при этом оказывается и линия каустики, которая разделяет в этом случае пространство на область тени и на освещенную область (в каждую точку здесь приходят два луча). В этом случае однозначной будет зависимость дальности  от угла выхода  (случай  на Рис.11.13). Ситуация изменяется при  (случай ). Как видно из Рис.11.13, некоторым дальностям соответствуют три значения угла выхода . В соответствующую область пространства (в каустическую петлю приходят три луча, претерпевших поворот). В случае  геометрическое место точек поворота лучей уже не является монотонной кривой (Рис.11.14). Не монотонность этой кривой определяет особый характер каустики в случае . Еще более сложный вид каустик может возникать при рассмотрении лучевой картины для сред с другой зависимостью показателя преломления от . Естественно, что картина лучей и конфигурация каустики еще более усложнится в случае, когда показатель преломления зависит от всех трех координат . Дополнительное усложнение картины происходит в неоднородных анизотропных средах.