Геометрическая оптика. Учет влияния дифракционных эффектов, страница 4

где эконал  считаем уже найденным. Выделим участок лучевой трубки, ограниченный с торцов элементами площади  и, перпендикулярными лучам в трубке, и следовательно совпадающими с поверхностями равной фазы (Рис.11.4). Введем вспомогательный вектор  (рассматривается среда без потерь). Имеет место

            .

Следствием является

                                                ,

где  - объем выделенного участка лучевой трубки,  - поверхность, ограничивающая этот объем. Так как вектор  ориентирован вдоль луча, то имеем

                                                ,

из которого для короткой трубки, у которой , получаем  или . В лучевой трубке справедливо представление для амплитудного множителя

                                                .                                                        (11.6)

Так как , то при  (это происходит в окрестности каустики), имеет место резкое изменение функции .

11.2. Условия применимости приближения геометрической оптики. В более общем случае, решение уравнения (11.1) можно построить в виде

                                                ,

где

                                                .

Подставляя эти выражения в уравнение (11.1), и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях , в нулевом приближении получим уравнение эйконала

                                                ,

а в следующих приближениях возникает система рекуррентных уравнений для амплитуд

                                                ,

                                   

Приближению геометрической оптики соответствует представление

                                                .

Основное условие применимости такого приближения связано с пренебрежением в равнении (11.2)слагаемым . Это условие можно записать в виде

.                                             (11.7)

 Используем приближенное представление (11.6)  ()для медленно изменяющейся амплитуды и получим ограничения на свойства среды и частоту. Произведем оценки

                                    ,

условие (11.7) принимает вид

                                                , или .

Это условие нарушается там, где  (в окрестности каустики) и нарушение происходит при . Приближение геометрической оптики нарушается в области, где функция  изменяется резко.

11.3. Описание лучевой картины для типичных случаев неоднородности.

            1). Рассмотрим задачу о картине лучей в неоднородной безграничной среде, квадрат показателя преломления которой изменяется с высотой по линейному закону

                                                .

Уравнение луча в такой среде принимает вид

  .

Таким образом, лучи  являются параболами. Для луча, идущего в сторону увеличения координат  и , следует брать верхний знак Высота точки поворота находится из условия  и выражается формулой

                                                .

Уравнение луча приводится к виду

                                    .

Горизонтальная координата точки поворота дается формулой

                                    .

Найдем горизонтальную координату («дальность») луча, пришедшего на тот же уровень, с которого он и вышел () (Рис.11.5)

                                    .

Одной дальности соответствует два луча, вышедшие из источника под углами  и  (Рис. 11.6). Таким образом, в одну точу , на уровне  приходят два луча (при условии ). Это соответствует отмеченной выше ситуации, когда задача нахождения угла выхода при фиксированных положениях источника и точки наблюдения, имеет не единственное решение.

            Найдем геометрическое место точек поворота. Оно определяется системой уравнений

                                                ,

из которой получаем

            .