Методика численного анализа задачи определения теплового состояния на основе формирования и решения уравнения теплопроводности методом конечных элементов

Страницы работы

Содержание работы

Министерство ОбразованиЯ РФ

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КурсоваЯ работа

ПО ЧИСЛЕННОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ НА ОСНОВЕ

ФОРМИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Студентки .

Группа Б-

Проверил Санников В.А.

С-Петербург

-2002 г.-

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

ВВЕДЕНИЕ        ……….………………………………………………………………………...4

1     Теоретическая часть         …………………………………………………………………..5

1.1     Численные методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности. …..5

1.2     Формулировка основных соотношений при решении задачи нестационарной теплопроводности       …………………………………………………………………………..7

1.3     Численный анализ нестационарных полей температур в элементах конструкций с помощью МКЭ         ……………………………………………………………………………..9

2     Переход от дифференциальных уравнений к расчётной модели ………………………13

3     Применение изопараметрического квадратичного элемента для решения задач теплообмена     …………………………………………………………………………………15

4. Естественная система координат. Преобразования координат.Матрица Якоби ……….17

5.Алгоритм расчета Якобиана  ………………………………………………………………  19 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………21

7. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………………………………..21

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается методика численного анализа задачи определения теплового состояния на основе формирования и решения уравнения теплопроводности методом конечных элементов. В дальнейшем предполагается использование расчета для определения долговечности конструкций при термохимическом нагружении. При этом необходимо не только знать закономерности достижения предельного состояния, но и располагать данными о полях температур. Задачу об определении полей температур во всём объёме рассчитываемой на прочность детали в зонах локализации указанного фактора необходимо решать в кинетической, циклической, упругой  и упругопластической постановке.

Для анализа области применения разработанных на кафедре программах либо пакетах программ, применяемых на производствах, требуется приобретение навыков некоторых вычислений и анализа теоретических разработок, что и приведено в данной курсовой работе.


1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1  Численные методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности

Для расчета на прочность конструктивных элементов, работающих в условиях термомеханического нагружения, необходимо последовательно определить нестационарные поля температур и по ним построить поля напряжений, упругих и упругопластических деформаций, характеризующие особенности деформирования в напряженных зонах конструкций.

Согласно постановке краевой задачи необходимо найти в трёхмерной области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, тензорное поле Q(r), где r – вектор, определяющий положение произвольной точки внутри области V глобальной криволинейной системы координат Qk, где k = 1, 2, 3 (Рис. 1).

При решении задачи теплопроводности Q = t – тензор ранга ноль, температура, скаляр. Искомое поле Q должно удовлетворять во внутренних точках тела объема V дифференциальному уравнению:


где L2 – тензорный дифференциальный оператор второго порядка, содержащий производные по координатам до второй включительно.

На границе тела (на поверхности S = Sn+Su) поле Q должно удовлетворять граничным условиям Неймана (на части поверхности Su)

и Дирихле (на части поверхности Su)

где L1 – тензорный дифференциальный оператор первого порядка;

Ф – заданное на части поверхности Su значение тензора Q/

Для большинства краевых задач существует эквивалентное вариационная постановка, при которой поле Q должно удовлетворять граничным условиям Дирихле и обеспечивать минимум функционала;

где Lv1 и Ls1 – скалярные дифференциальные операторы первого порядка.

МКЭ позволяет получить приближённое решение краевой задачи в вариационной постановке () - () при применении этого метода исследуемую область V разбивают на совокупность элементов е объёмом Ve так, что

При этом

где kVe интеграл () вычисленный по объёму Ve.

Зависимость тензора Q от координат внутри элемента е аппроксимируют значениями Qem этого тензора в узлах k = i, j, m, …

где Nm(r) – функция формы [], определяющая вид зависимости (); ne – число узлов в элементе е.

После приближённого вычисления интегралов кve на основании выражения () получают функциональную зависимость интеграла () от узловых значений Qek тензора Q, которые определяют из условий экстремума

Соотношение () позволяет получить разрешающую систему уравнений относительно неизвестных узловых значений Qm (m=1, …, n; n – общее число узлов дискретной схематизации исследуемой области). Решение такой системы позволяет на основании () найти аппроксимацию искомого тензорного поля Q(r).

Таким образом, МКЭ позволяет привести решение краевых задач к решению однотипных систем алгебраических уравнений, обеспечивает большую степень автоматизации получения системы разрешающих алгебраических уравнений при составлении программ. Одним из преимуществ является универсальность по отношению геометрии исследуемой области.

Похожие материалы

Информация о работе