Тригонометричні ряди Фур’є. Комплексна форма запису ряду Фур’є. Спектральна функція, страница 5

 (графік цієї функції зображений на рис.3.6.).

Ясно, що функція  обмежена, абсолютно інтегровна і задовольняє умовам Діріхле там, де це потрібно. Переходимо до обчислення внутрішнього інтеграла у формулі (3.22). Ми маємо

  чи, інтегруючи частинами,

 . Тому  . Ця формула

                 Рис. 3.6.                  справедлива для всіх значень , за винятком . Для  значення правої частини формули буде вдвічі менше значення її лівої частини.

3.7.  Комплексна форма інтеграла Фур'є

Повернемося до інтегральної формули Фур'є

                                                             (3.23)

і застосуємо до наявного в цій формулі косинусу формулу Эйлера:

 . Ми одержимо

 , чи  .

Тут, як неважко переконатися підстановкою  , інтеграли, що стоять у правій частині, рівні один одному. Тому

                                                                   (3.24)

Отримана формула називається розкладанням функції в інтеграл Фур'є в комплексній формі.

П.9. Знайдемо інтеграл Фур'є в комплексній формі для функції

У цьому випадку обчислення внутрішнього інтеграла в правій частині формули (3.24) дає нам

 .

Тому формула (3.24) набуває в даному випадку такого виду:   .

П.10.Розвинемо в інтеграл Фур'є в комплексній формі функцію     ( рис.3.7.). Ми маємо

 Останній інтеграл є функцією від a. Позначимо його через  і обчислимо його. Ми маємо       

 ,

 роблячи підстановку , ми одержимо .

Продиференцюємо ця тотожність по a. Через те, що збіжність до границі по a є рівномірною в

                        Рис.3.7.                          будь-якому кінцевому проміжку, диференціювання під знаком границі законно. Ми маємо . Виконуючи диференціювання інтеграла по верхній і нижній границях, ми одержуємо

 , а згадуючи формулу (3.23) і переходячи до границі, будемо мати . Отже, первісна функція повинна бути постійної:   . Зокрема, повинне бути . Обчислимо інтеграл . Запишемо його для цього двічі:

 , і перемножимо почленно ці рівності. Ми одержимо    .

Переходячи в подвійному інтегралі до полярних координат, ми маємо

 , відкіля . Таким чином,

                                                                             (3.25)

і шуканим розвиненням в інтеграл Фур'є є         .

3.8.Поняття про перетворення Фур'є

Перепишемо формулу (3.24), заміняючи a на , у наступному виді:

 , і покладемо 

                                                                                     (3.26)

Тоді, очвидно, буде                                                      (3.27)

Визначення. Перехід від функції   до функції  , описуваний формулою (3.26), називається перетворенням Фур'є функції . Часто перетворенням Фур'є функції  називається сама функція . Зворотний перехід від функції  до функції , описується формулою (3.27), називається зворотним перетворенням Фур'є. Також зворотним перетворенням Фур'є функції  називається функція .

П.11. Узагалі говорячи, самі функції мають мало загального з функціями, що є їх перетвореннями Фур'є. Однієї з деяких функцій, що збігаються зі своїми перетвореннями Фур'є, є      

У тім, що для цієї функції дійсно, нас переконує другий приклад з попереднього параграфа. Справді, у цьому випадку ми маємо   ,

чи, користаючись формулою (3.25), поклавши в ній  і заміняючи a на , одержуємо необхідне.

3.9. Косинус – перетворення Фур'є

Нехай - парна функція. Згадаємо формулу (3.21)

 , перепишемо її у виді

                                                    (3.28)

і покладемо   .                                                         (3.29)

Тоді (3.28) дасть нам                                        (3.30)

Формула (3.29) визначає косинус – перетворення Фур'є парної функції

 , що приводить до функції , також названої косинус – перетворенням функції . Формула (3.30) визначає зворотне косинус – перетворення.

3.10.Синус – перетворення Фур'є

Для непарної функції  ми можемо послатися на формулу (3.22)

 і за аналогією з попереднім визначити синус – перетворення Фур'є      

 і зворотне синус – перетворення .

П.12.  Розглянемо функцію ,

визначену тільки для . Останнє означає, що ми можемо, продовжуючи нашу функцію  на область негативних значень по чи парності по не парності, знайти як косинус – перетворення цієї функції, так і її синус – перетворення.

Для косинус – перетворення ми маємо

 .