(графік цієї функції зображений на
рис.3.6.).
Ясно, що функція обмежена, абсолютно інтегровна і
задовольняє умовам Діріхле там, де це потрібно. Переходимо до обчислення
внутрішнього інтеграла у формулі (3.22). Ми маємо
чи, інтегруючи частинами,
. Тому
. Ця
формула
Рис. 3.6. справедлива для всіх значень ,
за винятком
. Для
значення
правої частини формули буде вдвічі менше значення її лівої частини.
3.7. Комплексна форма інтеграла Фур'є
Повернемося до інтегральної формули Фур'є
(3.23)
і застосуємо до наявного в цій формулі косинусу формулу Эйлера:
. Ми одержимо
, чи
.
Тут, як неважко
переконатися підстановкою , інтеграли, що стоять у
правій частині, рівні один одному. Тому
(3.24)
Отримана формула
називається розкладанням функції в
інтеграл Фур'є в комплексній формі.
П.9. Знайдемо інтеграл Фур'є в комплексній формі для функції
У цьому випадку обчислення внутрішнього інтеграла в правій частині формули (3.24) дає нам
.
Тому формула (3.24)
набуває в даному випадку такого виду: .
П.10.Розвинемо в інтеграл Фур'є в комплексній формі функцію ( рис.3.7.). Ми маємо
Останній інтеграл є функцією від a. Позначимо його через
і обчислимо його. Ми маємо
,
роблячи
підстановку , ми одержимо
.
Продиференцюємо ця тотожність по a. Через те, що збіжність до границі по a є рівномірною в
Рис.3.7. будь-якому кінцевому проміжку,
диференціювання під знаком границі законно. Ми маємо .
Виконуючи диференціювання інтеграла по верхній і нижній границях, ми одержуємо
, а згадуючи формулу (3.23) і переходячи
до границі, будемо мати
. Отже, первісна
функція повинна бути постійної:
. Зокрема, повинне бути
. Обчислимо інтеграл
. Запишемо його для цього двічі:
, і перемножимо почленно ці рівності. Ми
одержимо
.
Переходячи в подвійному інтегралі до полярних координат, ми маємо
, відкіля
.
Таким чином,
(3.25)
і шуканим розвиненням
в інтеграл Фур'є є .
3.8.Поняття про перетворення Фур'є
Перепишемо формулу
(3.24), заміняючи a на , у наступному виді:
, і покладемо
(3.26)
Тоді, очвидно,
буде (3.27)
Визначення. Перехід від функції до функції
, описуваний формулою (3.26), називається перетворенням
Фур'є функції
. Часто перетворенням Фур'є
функції
називається сама функція
. Зворотний перехід від функції
до функції
,
описується формулою (3.27), називається зворотним перетворенням Фур'є. Також
зворотним перетворенням Фур'є функції
називається
функція
.
П.11. Узагалі говорячи, самі функції мають мало загального з функціями, що є
їх перетвореннями Фур'є. Однієї з деяких функцій, що збігаються зі своїми
перетвореннями Фур'є, є
У тім, що для цієї функції
дійсно, нас переконує другий приклад з
попереднього параграфа. Справді, у цьому випадку ми маємо
,
чи, користаючись
формулою (3.25), поклавши в ній і заміняючи a на
, одержуємо необхідне.
3.9. Косинус – перетворення Фур'є
Нехай - парна функція. Згадаємо формулу (3.21)
, перепишемо її у виді
(3.28)
і покладемо .
(3.29)
Тоді (3.28) дасть
нам (3.30)
Формула (3.29) визначає косинус – перетворення Фур'є парної функції
, що приводить до функції
, також названої косинус – перетворенням
функції
. Формула (3.30) визначає зворотне косинус
– перетворення.
3.10.Синус – перетворення Фур'є
Для непарної
функції ми можемо послатися на формулу (3.22)
і за аналогією з попереднім визначити синус
– перетворення Фур'є
і зворотне синус –
перетворення .
П.12. Розглянемо функцію ,
визначену тільки
для . Останнє означає, що ми можемо,
продовжуючи нашу функцію
на область негативних
значень по чи парності по не парності, знайти як косинус – перетворення цієї
функції, так і її синус – перетворення.
Для косинус – перетворення ми маємо
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.