.
Далі, перший доданок у (3.14) вправій частині у міру росту прямує до нуля. В цьому легко переконатися,
.
Таким чином, у граничному переході, при , формула (3.14) перетворюється в наступну:
(3.15)
Ця формула називається інтегральною формулою Фур'є, а інтеграл, що стоїть в ній - інтегралом Фур'є. Представлення функції у виді правої частини формули (3.15) звичайно називається розвиненням цієї функції в інтеграл Фур'є.
Ясно, що все тільки що сказане тут стосувалося тільки тих точок , у яких функція неперервна. Для точок розриву справедлива, як і у випадку рядів Фур'є, інтегральна формула, що описує напівсуму меж функції праворуч і ліворуч:
(3.16)
Отже, ми приходимо до формулювання наступної теореми.
Теорема Фур'є. Якщо функція на нескінченному проміжку є обмеженої й інтегровна абсолютно, а в кожнім кінцевому проміжку задовольняє умовам Діріхле, то для кожного має місце рівність (3.15), якщо є точка неперервності функції , і рівність (3.16), якщо є точка розриву цієї функції.
Зауважимо, що у формулі (3.15) внутрішній інтеграл являє собою деяку функцію від a. Тому що ця функція залежить не від самої змінної a, а від її косинуса, вона повинна бути парної. Тому ми можемо формулу (3.15) переписати в наступному виді:
(3.17)
Ми привели правдоподібні міркування на користь справедливості теореми Фур'є, що, зрозуміло, не можна вважати її доказом. Доказ теореми Фур'є досить складний і виходить за межі нашого курсу.
П.6. Нехай якщо . Графік функції зображений на рис..3.4.
Очевидно, що при будь-якому і .
Отже, функція в проміжку є обмежена й інтегровна абсолютно. Крім того, функція монотонно спадає, і тому функція
Рис. 3.4. тривіальним образом задовольняє умовам Дирихле.
Зі сказаного випливає, що, відповідно до теореми Фур'є, функція розвивається в інтеграл Фур'є. Випишемо це розвинення в явному виді (тобто без внутрішнього інтеграла, що знаходиться в правій частині цієї формули). Ми маємо в розглянутому випадку
,
чи, роблячи двічі інтегрування частинами,
Звідси випливає, що . Значить, розвинення функціїв інтеграл Фур’є в цьому випадку має вид: .
Зауважимо, насамперед, що при кожнім a , так що
. Отже, якщо функція абсолютно інтегровна на нескінченному проміжку , то невластивий інтеграл
(3.18)
існує. У силу аналогічних причин існує при кожнім a і невласний інтеграл
(3.19)
Згадуючи, що , перепишемо формулу (3.15) у наступному виді:
(3.20)
Припустимо тепер, що функція парна. Тоді парними повинні бути усі функції виду і непарними – усі функції виду . Отже, у цьому випадку всі невластиві інтеграли (3.19) дорівнюють нулеві, а для кожного з невластивих інтегралів (3.18) ми можемо написати .
Таким чином, у випадку парної функції формула (3.20) може бути переписана як (3.21)
П.7. Розвинути в інтеграл Фур'є парну функцію , де
. Графік функції див. на рис. 3.5.
Те, що функція обмежена, абсолютно інтегровна в нескінченному проміжку і задовольняє умовам Діріхле в будь-якому
Рис.3.5. кінцевому сегменті, легко перевіряється.
Отже, розвинення функції в інтеграл Фур'є існує. Для його знаходження обчислимо .
Таким чином, шуканим розвиненням є .
Ця формула справедлива для всіх значень , за винятком . У цих двох точках розриву функції інтеграл Фур'є приймає значення, рівне .
Якщо функція непарна, то непарної ж буде і функція і парної – функція . Тому при непарній функції в нуль обертається при будь-якім значенні a інтеграл (3.18), а для інтеграла виду (3.19) справедливо . Отже, у випадку непарної функції формула (3.20) приймає вид:
(3.22)
П.8. Розкласти в інтеграл Фур'є непарну функцію , для якої
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.