Матричний метод розв'язання однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами

2.4 Матричний метод розв'язання однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами

Система лінійних диференціальних рівнянь у скалярній формі має вигляд:

     (k = 1,2,…,n),                      (2...67)

де й (k = 1,2,…,n) є неперервними функціями дійсного змінного на t(a, b). Якщо ввести матрицю коефіцієнтів P(t) порядку n´n й n-мірні вектори й :

                                      (2.68)

то система (2.66) запишеться у векторній формі:

                                                (2.69)

Системи (2.66), (2.68) називаються лінійними неоднорідними системами. Якщо в системі (2.66) всі   (l = 1,2,…,n), або в системі (2.68) то ці системи називаються однорідними. Задача Коші для векторного рівняння (2.68) записується так:

                                              (2.70)

                                                    (2.71)

де  – будь-який заданий n-мірний вектор:

                                         (2.72)

Розв'язанням задачі (2.70) - (2.71) називається такий n-мірний диференційований вектор

                                         (2.73)

який задовольняє при рівнянню (2.70) і початковій умові (2.71).

Розглянемо лінійну однорідну систему:

                                                          (2.74)

і введемо для неї матрицю Y(t) порядку n ´ n, складену з n лінійно незалежних розв'язань рівняння (2.74) з огляду на що

                                           (2.75)

Очевидно, що Y(t) задовольняє матричному рівнянню:

                                                    (2.76)

При цьому матрицю (2.74), безупинно диференційовану й неперервну у всіх точках  яка обертає рівняння (2.75) у тотожність, називають інтегральною матрицею системи (2.76) або фундаментальною матрицею цієї ж системи.

Підкреслимо ще раз, що лінійна однорідна система диференціальних рівнянь може бути записана або у векторній формі (2.74) або в матричній формі (2.76). Зв'язок між цими рівняннями полягає в наступному: вирішити матричну систему (2.76) – означає знайти матрицю Y(t) порядку n ´ n, стовпці якої являють собою лінійно незалежні розв'язання векторного рівняння (2.74).

Звернемо увагу й на те, що довільне розв'язання матричного рівняння (2.76) не обов'язково буде його інтегральною матрицею. Це буде у випадку, якщо на стовпці матриці Y не будуть накладатися обмеження лінійної незалежності.

Нехай задана лінійна однорідна система рівнянь загального виду:

  (k = 1,2,…,n),                                       (2...77)

коефіцієнти якої неперервні при Матриця коефіцієнтів системи (2.77)

                                         (2.78)

є очевидно транспонованою матрицею стосовно матриці (2.68) системи (2.67). Зміна порядку індексів у коефіцієнтів розглянутої системи (2.76) у порівнянні із системою (2.66) пояснюється зручністю подальших викладень при використанні раніше викладених понять теорії лінійних систем диференціальних рівнянь.

Нехай система рівнянь (2.77) має фундаментальну систему розв'язань:

 (i = 1,2,…,n)...                                   (2.79)

При послідовній підстановці розв'язань (2.79) у систему рівнянь (2.77) одержимо тотожностей:

 (i, k =1,2,…,n; tÎ (a, b))...                             (2.80)

З огляду на (2.79), введемо матрицю фундаментальної системи розв'язань:

                                            (2.81)

Тоді систему тотожностей (2.80) можна записати у вигляді однієї матричної тотожності. Справді:

,                                                    (2.81’)

                                               (2.82)

З урахуванням (2.81), (2.82) тотожності (2.80) приймають вид:

   (i, k =1,2,…,n; tÎ (a, b)),

що еквівалентно матричній тотожності:

 (a < t < b).                                              (2.83)

Таким чином, матриця фундаментальної системи розв'язань (2.80) є розв'язанням матричного рівняння

                                                       (2.84)

відповідній заданій системі рівнянь (2.79).

Слід зазначити, що матричне рівняння (2.84) еквівалентно матричному рівнянню (2.76). Для доказу цього досить зробити транспонування матриць у рівності (2.84), використовуючи формулу (2.23). Однак форма матричного рівняння (2.84) більш зручна при практичному застосуванні розглянутого методу. У цьому випадку матриця фундаментальної системи розв'язань така, що окремі розв'язання розташовуються по рядках, а не по стовпцях, як у випадку (2.76).

Значення інтегральної матриці Y у точці називається початковим її значенням і позначається:

                                              (2.85)

Якщо , то відповідна інтегральна матриця Y називається нормованої в точці .