Матричний метод розв'язання однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами, страница 6

Тоді дана система рівнянь (2.101) має наступний діагональний канонічний вид:

                                                (2. 130)

де рівність чисел (кратність характеристичних чисел матриці P) не виключається.

Висновок: будь-яку лінійну однорідну систему рівнянь (2.101) можна привести до квазідіагонального виду (2.127) у випадку, якщо серед елементарних дільників матриці коефіцієнтів є кратні, або ж до чисто діагонального виду (2.130) у випадку, коли всі елементарні дільники указаної матриці є простими.

Канонічний вид системи диференціальних рівнянь самого загального виду (2.127) допускає послідовне інтегрування кожної групи рівнянь, починаючи з останнього. А в окремому випадку канонічної системи (2.130) кожне рівняння інтегрується в елементарні (експонентних) функціях незалежно від інших. У цьому й складаються характерні риси канонічних систем й їхньої переваги перед даними (не канонічними) системами виду (2.101), що й обумовлює практичне застосування указаних систем канонічного виду.

З вище викладеного, укажемо алгоритми матричного методу побудови загального розв'язання лінійних однорідних систем з постійними коефіцієнтами (2.101) і розглянемо кілька прикладів розв'язання таких систем. Алгоритм розв'язання:

1) записуємо лінійну систему (2.101) у вигляді матричного рівняння (2.102), де P - транспонована матриця коефіцієнтів системи (2.101);

2) приводимо матрицю P до канонічної жорданової формі й, використовуючи рівність , знаходимо матрицю U й ;

3) знаходимо інтегральну матрицю Z рівняння (2.122), використовуючи формулу (2.123);

4) підставляємо знайдену інтегральну матрицю Z у формулу (2.124), якщо буде потреба в інтегральній матриці Y комплексні розв'язання замінивши відповідними дійсними розв'язаннями;

5) записуємо загальне розв'язання системи, будуя лінійні комбінації елементів отриманої матриці Y по стовпцях з довільними постійними коефіцієнтами

Приклад 19. Знайти загальне розв'язання системи

Розв’язання.

1) Записуємо матрицю P, транспонуючи матрицю коефіцієнтів системи

2) Приводимо матрицю P до канонічної жорданової формі. Для цього записуємо характеристичне рівняння й знаходимо характеристичні числа  тобто

Простим корінням характеристичного рівняння відповідають прості елементарні дільники матриці P: , . У силу цього, нормальна жорданова форма матриці A має вигляд:

З формули  маємо, що UB = PU або в розгорнутому виді, поклавши , знаходимо:

звідки, поклавши,  знаходимо  

Тоді матриця:

і зворотна матриця:

де – алгебраїчні доповнення елементів матриці U має вигляд:

3) З огляду на (2.123) знаходимо інтегральну матрицю:

4) Відповідно до формули (2.124) знаходимо інтегральну матрицю даної системи:

або

5) Тоді загальне рішення даної системи запишеться у вигляді лінійної комбінації:

Приклад 20. Знайти загальне розв'язання системи

Розв’язання

1) Аналогічно попередньому, одержуємо:

2)

Ранг матриці  дорівнює отже, число елементарних дільників, що відповідають  дорівнює . Отже, елементарними дільниками матриці P будуть ,, .

Тоді жорданова форма матриці P має вигляд:

.

Знаходимо матрицю U, використовуючи рівність UB = PU, тобто:

Записана матрична рівність рівносильна наступній системі алгебраїчних рівнянь:

3) З огляду на (2.123), знаходимо

4)

.

5) Загальне розв'язання запишеться:

Приклад 21. Розв’язати систему , якщо

Розв’язок.

1)

2)   Ранг матриці  дорівнює , тому кількість елементарних дільників, що відповідають цьому характеристичному числу дорівнює , а це значить, що елементарні дільники мають вигляд і жорданова форма матриці P запишеться:

.

Знаходимо матрицю U з рівності UB = PU, тобто:

3) Тоді, з огляду на (2.123), (2.114), (2.115), одержуємо:

4)

5) Загальне розв'язання запишеться:

6) Шукаємо частинне розв'язання, використовуючи початкові умови: