Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

ЛЕКЦИЯ №11.

тема: 11. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

ПЛАН

11.1 Применение линейных уравнений к колебательным движениям

11.2 Каноническая форма линейного однородного уравнения 2-го порядка

11.3 Самосопряженная форма линейного однородного уравнения 2-го порядка

11.4 Колебательные и неколебательные решения

Ранее нами были рассмотрены свойства линейных дифференциальных уравнений -го порядка и даны некоторые методы их решения.

Учитывая исключительную роль, которую играют в различных приложениях линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, кратко ознакомимся с некоторыми их приложениями, спецификой этих уравнений и укажем главные задачи, которые можно решать с их помощью.

11.1 Применение линейных уравнений к колебательным движениям

Положим, что материальная точка массы  движется вдоль оси  под действием:

1)   силы, что притягивает ее к началу координат , которая пропорциональна расстоянию  точки от начала координат;

2)   силы сопротивления среды, которая пропорциональна скорости движения точки;

3)   внешней (возмущающей) силы, которая направлена вдоль оси  и в момент времени  равна .

Тогда по закону Ньютона дифференциальное уравнение движения будет:

 или ,      (11.1)

где ,  и  ( называют коэффициентом сопротивления,  – коэффициентом восстановления). Рассмотрим отдельные случаи.

1) Отсутствует внешняя сила, пренебрегаем сопротивлением среды (,).

Уравнение движения имеет вид:

.                         (11.2)

Этим уравнением описываются:

1)   вертикальные движения тела массы , подвешенного на пружине под действием упругих сил пружины и силы тяжести;

2)   малые колебания маятника;

3)   колебания воздуха в акустическом резонаторе и т.д.

Решаем уравнение (11.2): .

,                    (11.3)

или

,                          (11.4)

где  называют амплитудой колебания;

;                                     (11.5)

 называют фазой колебания;  – начальная фаза.

Период колебания  получим при увеличении аргумента синуса на , т.е. при увеличении  на , а, значит, ;

Величину  называют круговой собственной частотой системы в отличие от обыкновенной частоты , что представляет собой число полных колебаний за единицу времени. Постоянные  и  вполне определяются начальными условиями:

, .

2) Отсутствует внешняя сила ()

Тогда уравнение движения запишется:

.                            (11.6)

Его характеристическое уравнение:

,                              (11.7)

с корнями .

а) если , то общее решение:

.              (11.8)

или:

,                      (11.9)

учитывая (11.5). Как видно, амплитуда колебания  – величина переменная  ( – начальная амплитуда). Движение точки, описываемое формулой (11.9) называют угасающим колебанием.

б) если же , то общее решение имеет вид

.                  (11.10)

Так как , то  при .

в) если , то , общее решение запишется:

                           (11.11)

и при , .

Движения, описываемые формулами (11.10)-(11.11) называют апериодичными угасающими движениями. С возрастанием  отклонение  асимптотически приближается к нулю. Все рассмотренные выше движения называют собственными колебаниями.

3) Действует внешняя сила, пренебрегаем сопротивлением среды (, )

Положим, что внешняя сила периодическая (в приложениях это случается очень часто), тогда уравнение (11.1) запишется

, .         (11.12)

Корни характеристического уравнения , , поэтому  и при нахождении  будем рассматривать два случая: 1) ; 2) .

В случае  (собственная частота внешней силы отлична от собственной частоты свободных колебаний) частное решение ищем в виде . Ищем  и . Для этого находим , . Подставляем в (11.12):

,

Откуда:

.

Тогда:  и общее решение уравнения (11.12):

, или    (11.13)

.                  (11.14)

Первый член решения (11.14) описывает собственные колебания, второй – вынужденные. Вынужденные колебания имеют собственную частоту внешней силы, а их амплитуда определяется амплитудой возмущающей силы и параметрами системы. Свободные колебания происходят с собственной частотой . Значит, колебания происходят с двумя частотами –  и , и поэтому результирующее колебание не будет гармоническим. Из формулы (11.14) следует, что амплитуда вынужденных колебаний очень велика, если  мало отличается от  и бесконечно возрастает, если . В реальной системе колебания с бесконечной амплитудой невозможны. При  формула (11.14) вообще теряет смысл. Возникает вопрос, какой же характер колебаний при ? В этом случае частное решение неоднородного уравнения (11.12) ищут в виде:

Находим  и , подставляя  в (11.12) и приравнивая коэффициенты при  и :  и . Тогда общее решение (11.12) запишется:

.            (11.15)