Матричний метод ЛОС із постійними коефіцієнтами: Практичне заняття № 5-6

Практичне заняття №5-6

Тема заняття: «Матричний метод ЛОС із постійними коефіцієнтами».

I. Перевірка виконаного домашнього завдання.

II. Теоретичне опитування:

1. Який вид має ЛОС із постійними коефіцієнтами в матричній формі?

2. У чому ідея «Матричного методу» розв'язання ЛОС?

3. Як за допомогою матричних рядів установити вид інтегральної матриці  ЛОС?

4. Як шукати інтегральну матрицю  ЛОС?

5. Що це за формула  і як находяться її компоненти?

III. Розв'язання задач:

Розв’язати ОЛС  матричним методом, якщо

            I. Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

1. .

Розв'язання: 1) Записуємо матрицю , транспонуючи матрицю  

2) Приводимо матрицю  до канонічної жорданової формі. Для цього записуємо характеристичне рівняння й знаходимо характеристичні числа  тобто

Простим корінням характеристичного рівняння відповідають прості елементарні дільники матриці: ,  У силу цього, нормальна жорданова форма матриці A має вигляд:

З формули  витікає, що  або в розгорнутому виді, поклавши , знаходимо:

звідки, поклавши, знаходимо  

Тоді матриця:

і зворотна матриця:  де – алгебраїчні доповнення елементів матриці  має вигляд:

3) Знаходимо інтегральну матрицю:

4) Знаходимо інтегральну матрицю вихідної системи:

або

5) Тоді загальне розв'язання вихідної системи запишеться у вигляді лінійної комбінації:

2.  3.  4. .

            II. Корені характеристичного рівняння комплексні:

1. .

Розв'язання: 1) Складаємо матрицю

2)

Корені характеристичного многочлена – прості. Елементарними дільниками в полі комплексних чисел будуть , а це значить, що жорданова форма матриці  має вигляд:

.

Знаходимо відразу матрицю  з рівності

Думаючи

.

3) Знаходимо інтегральну матрицю:

4)

Замінимо в інтегральній матриці Y комплексне розв'язання відповідної дійсним, відокремлюючи дійсні й мнимі частини, з огляду на що:

Тоді:

і дійсна інтегральна матриця запишеться:

Тоді загальне розв'язання в дійсній формі запишеться:

2.  3.  4.

            III. Корені характеристичного рівняння кратні:

1. .

Розв'язання: 1)

2)   Ранг матриці дорівнює , тому кількість елементарних дільників, що відповідають цьому характеристичному числу дорівнює , а це значить, що елементарні дільники мають вигляд і жорданова форма матриці запишеться:

.

Знаходимо матрицю  з рівності :

3) Знаходимо інтегральну матрицю:

4)

5) Загальне розв'язання запишеться:

2.  3.  4. 5.  6.

IV. Домашнє завдання:

1. Підготувати теоретичний матеріал по темі «Метод Ейлера розв'язання ЛОС із постійними коефіцієнтами».

2 Розв’язати вдома задачі, що залишилися

3. Принести виконану частину індивідуального завдання по темі.