, (11.30)
называют самосопряженным.
Докажем, что любое однородное линейное уравнение 2-го порядка
, (11.31)
коэффициенты которого непрерывные
функции на , можно привести к самосопряженному виду,
умножив его на некоторый множитель
.
Действительно, умножив
(11.31) на
и будем подбирать так, чтобы коэффициент при
был равен производной от коэффициента при
, т.е.
(11.32)
или ,
или ,
или , или
,
или
. Положив
,
получим:
(11.33)
Т.о. умножив уравнение
(11.31) на полученное , получим:
или:
, (11.34)
т.е. получим уравнение (11.30), где и
.
Отметим при этом:
и
–
непрерывные на
функции, причем
.
П р и м е р. Приведем к самосопряженному виду уравнение цилиндрических
функций ,
.
Р е ш е н и е. По формуле
(11.33) . Умножив на
,
получим:
или
–
самосопряженная форма уравнения.
Пусть однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
, (11.21)
где и
– непрерывные функции в рассматриваемом интервале
. Если
, и
заданы начальные условия
, (11.35)
то по теореме существования и единственности решения задачи Коши есть только одно решение уравнения (11.21), которое удовлетворяет условиям (11.35). В частности, если
и
, (11.36)
то искомое решение будет тривиальным:
, т.к. только оно удовлетворяет условиям
(11.21), (11.36).
В теории и на практике,
особенно при физических исследованиях, очень важно знать: имеет ли решение данного уравнения нули, принадлежащие рассматриваемому
промежутку
, или не имеет, а если имеет, то сколько
их. Впервые эта проблема была исследована французским математиком Штурмом в
1836г.
Перед рассмотрением основных теорем Штурма, рассмотрим два примера и введем некоторые новые понятия.
Пусть имеем два уравнения
и
,
где .
Решение первого из них:
, (11.37)
а второго –
или
. (11.38)
Анализ решений (11.37),
(11.38) показывает, что между ними существуют большие различия. В то время, как
каждое частное решение, получаемое из (11.37), может иметь только один корень
при , то каждое частное решение уравнения,
полученного из (11.38), будет иметь бесконечное число корней при
, расстояние между которыми равно
. Значит, любое решение второго уравнения
будет иметь хотя бы два корня на любом промежутке, длина которого больше, чем
.
Решение дифференциального
уравнения 2-го порядка называют колебательным на промежутке , если оно обращается в
нуль внутри этого промежутка не менее двух раз. В противном случае решение
называют неколебательным на
. Т.о.
все решения первого уравнения – неколебательные на любом конечном промежутке, а
решения второго – колебательные на любом интервале длиной больше
. Заметим, что при
оба
уравнения будут иметь вид
, решения которого
являются, очевидно, неколебательными.
Т.о., делаем вывод, что
уравнение имеет неколебательные решения в любом
промежутке, если
, и колебательные в достаточно
большом промежутке, если
.
Оказывается, что условие для неколебательных решений распространяется
и на случай, если
, т.е. на случай уравнений 2-го
порядка с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнение 2-го порядка, взятое
в канонической форме:
. (11.39)
К нему, как показано ранее,
приводятся любые линейные уравнения 2-го порядка путем
замены
.
Будем рассматривать только те
промежутки, где . Тогда, т.к.
, функции
и
будут иметь одни и те же корни.
Имеет место теорема.
Т е о р е м а. Если на
промежутке функция
непрерывна
и удовлетворяет неравенству
при
, то любое ненулевое решение уравнения
(11.39) будет неколебательным.
Д о к а з а т е л ь с т в о (
о т п р о т и в н о г о ). Допустим противоположное, что существует какое-то
решение уравнения (11.39), которое имеет хотя бы
два нуля
и
на
, т.е. является колебательным на
. Для определенности положим, что
и
. Допустим
далее, что между
и
решение
не имеет нулей. Тогда
как непрерывная функция будет сохранять
знак между двумя соседними корнями
и
(для определенности положим, например,
при
). Тогда
правее т.
т.к.
возрастает
правее от т.
и
. Тогда
уравнение (11.39) запишем в виде
.
Т.к. по условию теоремы и
, то
при
.
Поэтому
не убывает на
, т.е.
при
.
По формуле конечных приращений функции будем иметь:
, где
.
Но левая часть последнего равенства равна нулю, а правая положительная. Значит сделанное допущение о существовании хотя бы 2-х корней неверно, т.е. решение будет неколебательным, ч. т .д.
В ы в о д: Если для всех значений
,
то решение уравнения (11.39) неколебательные в любом конечном промежутке,
значит, каждая интегральная кривая пересекает ось
не
более одного раза.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.