Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, страница 3

,                       (11.30)

называют самосопряженным.

Докажем, что любое однородное линейное уравнение 2-го порядка

,               (11.31)

коэффициенты которого непрерывные функции на , можно привести к самосопряженному виду, умножив его на некоторый множитель .

Действительно, умножив (11.31) на

и будем подбирать  так, чтобы коэффициент при  был равен производной от коэффициента при , т.е.

                       (11.32)

или ,

или ,

или , или ,

или  . Положив , получим:

                          (11.33)

Т.о. умножив уравнение (11.31) на полученное , получим:

или:

,               (11.34)

т.е. получим уравнение (11.30), где  и . Отметим при этом:  и  – непрерывные на  функции, причем .

П р и м е р. Приведем к самосопряженному виду уравнение цилиндрических функций , .

Р е ш е н и е. По формуле (11.33) . Умножив на , получим:  или  – самосопряженная форма уравнения.

11.4 Колебательные и неколебательные решения

Пусть однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

,                     (11.21)

где  и  – непрерывные функции в рассматриваемом интервале . Если , и заданы начальные условия

,                       (11.35)

то по теореме существования и единственности решения задачи Коши есть только одно решение уравнения (11.21), которое удовлетворяет условиям (11.35). В частности, если

 и ,                      (11.36)

то искомое решение будет тривиальным: , т.к. только оно удовлетворяет условиям (11.21), (11.36).

В теории и на практике, особенно при физических исследованиях, очень важно знать: имеет ли решение  данного уравнения нули, принадлежащие рассматриваемому промежутку , или не имеет, а если имеет, то сколько их. Впервые эта проблема была исследована французским математиком Штурмом в 1836г.

Перед рассмотрением основных теорем Штурма, рассмотрим два примера и введем некоторые новые понятия.

Пусть имеем два уравнения

 и ,

где .

Решение первого из них:

,                            (11.37)

а второго –

 или . (11.38)

Анализ решений (11.37), (11.38) показывает, что между ними существуют большие различия. В то время, как каждое частное решение, получаемое из (11.37), может иметь только один корень при , то каждое частное решение уравнения, полученного из (11.38), будет иметь бесконечное число корней при , расстояние между которыми равно . Значит, любое решение второго уравнения будет иметь хотя бы два корня на любом промежутке, длина которого больше, чем .

Решение дифференциального уравнения 2-го порядка называют колебательным на промежутке , если оно обращается в нуль внутри этого промежутка не менее двух раз. В противном случае решение называют неколебательным на. Т.о. все решения первого уравнения – неколебательные на любом конечном промежутке, а решения второго – колебательные на любом интервале длиной больше . Заметим, что при  оба уравнения будут иметь вид , решения которого  являются, очевидно, неколебательными.

Т.о., делаем вывод, что уравнение  имеет неколебательные решения в любом промежутке, если , и колебательные в достаточно большом промежутке, если .

Оказывается, что условие  для неколебательных решений распространяется и на случай, если , т.е. на случай уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами. Рассмотрим уравнение 2-го порядка, взятое в канонической форме:

.                                 (11.39)

К нему, как показано ранее, приводятся любые линейные уравнения 2-го порядка  путем замены .

Будем рассматривать только те промежутки, где . Тогда, т.к. , функции  и  будут иметь одни и те же корни.

Имеет место теорема.

Т е о р е м а. Если на промежутке  функция  непрерывна и удовлетворяет неравенству  при , то любое ненулевое решение уравнения (11.39) будет неколебательным.

Д о к а з а т е л ь с т в о ( о т  п р о т и в н о г о ). Допустим противоположное, что существует какое-то решение  уравнения (11.39), которое имеет хотя бы два нуля  и  на , т.е. является колебательным на . Для определенности положим, что  и . Допустим далее, что между  и  решение  не имеет нулей. Тогда  как непрерывная функция будет сохранять знак между двумя соседними корнями  и  (для определенности положим, например,  при ). Тогда правее т.  т.к.  возрастает правее от т.  и . Тогда уравнение (11.39) запишем в виде

.

Т.к. по условию теоремы  и , то  при . Поэтому  не убывает на , т.е.

 при .

По формуле конечных приращений функции будем иметь:

, где .

Но левая часть последнего равенства равна нулю, а правая положительная. Значит сделанное допущение о существовании хотя бы 2-х корней неверно, т.е. решение будет неколебательным, ч. т .д.

В ы в о д: Если  для всех значений , то решение уравнения (11.39) неколебательные в любом конечном промежутке, значит, каждая интегральная кривая пересекает ось  не более одного раза.