Математика \ Дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, страница 2

Второй член показывает, что при возрастании амплитуда вынужденного колебания возрастает неограниченно. Это так называемое явление резонанса, которое имеет место при совпадении собственной частоты и частоты возмущающей силы .

4) Действует возмущающая сила, учитываем сопротивление среды (,)

Полагая снова, что возмущающая сила , получим уравнения движения в виде

. (11.16)

Полагая, что колебания – угасающие, т.е. , положим, как и раньше, , и корни характеристического уравнения будут , получим:

. (11.17)

Находим и :

, .

Подставляя их значения в (11.16) и приравнивая коэффициенты при и получаем:

, .

Поэтому искомое частное решение запишется:

, (11.18)

а общее:

. (11.19)

Из (11.19) следует, что, если достаточно мало, а – близко к , то выражение близко к нулю, и амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Наблюдаем снова явление резонанса. Но тут существенное отличие: колебания хоть и большие, но не возрастают до бесконечности, как в случае отсутствия сопротивления. В сооружениях и машинах явление резонанса играет очень негативную роль: увеличение амплитуды колебаний порождает увеличение напряжения материала, а это может привести к разрушению сооружения или машины. Значит, проектируя части той или иной машины, нужно определить частоты их собственных колебаний так, чтобы предотвратить явление резонанса.

11.2 Каноническая форма линейного однородного уравнения 2-го порядка

Пусть имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка:

, (11.20)

где – непрерывные в заданном интервале функции, причем . Разделив на, получим:

(11.21)

и проведем замену:

(11.22)

где – новая искомая функция. Подставим (11.22) в (11.21), предварительно вычислив и : ;

или

. (11.23)

Подберем функцию так, чтобы , т.е.

или .

Подставляем найденное значение в (11.23), предварительно вычислив , ; тогда

или

или, если положим

, (11.24)

будем иметь окончательно:

. (11.25)

Уравнение (11.25) называют канонической формой уравнения (11.21). Функция называется инвариантом уравнения (11.21), т.к. она не меняет своего вида при любых подстановках вида (11.22). Очевидно, если уравнение (11.25) приводится к квадратурам, то к квадратурам приводится и уравнение (11.21). Это будет иметь место, например, тогда, когда , или . В первом случае уравнение (11.25) будет линейным с постоянными коэффициентами, а во втором – уравнением Лагранжа. Отметим, что для линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

инвариант представляет собой дискриминант характеристического уравнения , взятый с противоположным знаком.

Из равенства (11.23) видно, что функцию можно подобрать и другим способом, а именно так, чтобы она была решением уравнения (11.21). При таком подборе , обозначив и положив , из (11.23) получим: , или, разделив на :

или

Проинтегрировав, получаем т.к.

, т.к. , то.

Используем утверждение: если известно одно ненулевое частное решение линейного однородного уравнения (11.21), то порядок этого уравнения (11.21) можно понизить на единицу, и второе частное решение находим по формуле:

(положим ). (11.26)

Тогда общее решение запишется:

. (11.27)

П р и м е р 1. Привести уравнение цилиндрических функций (уравнение Бесселя) к каноническому виду: , или полагая :

. (11.28)

Условия теоремы существования и единственности решения выполняются в интервалах , – особая точка уравнения (11.28). Т.к. , то

и уравнение Бесселя запишется , где . Рассмотрим частный случай, выбрав , и уравнение запишется . Откуда . Учитывая, что и . Тогда . Умножая частные решения и на , получим так называемые функции Бесселя: