Економетрика: Навчальний посібник (Статистичні методи аналізу й обробки спостережень)

Розділ 2

Статистичні методи аналізу й обробки спостережень

2.1 Випадкові величини і їхні характеристики

Серед безлічі випадкових величин виділяють дискретні (між будь-якими двома значеннями знаходиться лише скінчкене число інших допустимих значень) і неперервні (значення суцільно заповнюють деякий проміжок). Якщо число n значень дискретної випадкової величини Х обмежене, то величина Х називається скінченнозначною, інакше, у випадку n = ,- безкінечнозначною.

Найважливішою для додатків скінченнозначною диск-ретною випадковою величиною є число появ деякої події А з імовірністю p у послідовності n незалежних іспитів. Ця величина може приймати будь-яке значення m = 0, 1, 2, ..., n. Якщо позначити відповідні імовірності через P_n(0), P_n (1), ..., P_n(n), то

   .            (2.1)

Тут

 .

Розподіл (2.1) називають біноміальним (чи розподілом Бернуллі).

Як приклад безкінечнозначної дискретної випадкової величини наведемо розподіл Пуассона

   m = 0, 1, 2, ...                         (2.2)

Тут також

 

Якщо в біноміальному розподілі число іспитів n велике, а імовірність p мала (p 0.1), то такий біноміальний розподіл мало відрізняється від розподілу Пуассона, і можна скористатися наближеною формулою

   np.

Основною характеристикою випадкової величини Х є її функція розподілу

 F(x) = P(Х < x).                             (2.3)

Її основні властивості:

а) 0≤ F(x)≤ 1;

б) F(x₂)≥ F(x₁), якщо х₂ > x_1;

в) P(x₁ < X < x₂) = F(x₂) - F (x₁).

Неперервну випадкову величину Х звичайно визначають як величину, функція розподілу якої неперервна. Неперервна випадкова величина кожне своє значення приймає з нульовою імовірністю, тобто   P(X = x₀) = 0.

         Якщо припустити, що функція F(x) неперервної величини Х має похідну, то можна ввести іншу важливу характеристику - щільність розподілу імовірностей

 f (x) = F'(х).                                  (2.4)

Її основні властивості:

1) P (x₁ < X < x₂) = ;                   2) f(x) ≥ 0;

3) F (x) = ;                                  4).

Числовими характеристиками випадкової величини Х є теоретичні моменти.

1 Початковим моментом порядку  називають математичне чекання величини Х ^k:

 .                                       (2.5)

Зокрема, початковим моментом 1-го порядку є математичне чекання величини Х. Для дискретної величини з заданими значеннями  й імовірностями p_i (i =1, 2, ..., m)

M(X) = ,   ,                     (2.6)

якщо ж замість імовірностей задаються частоти f_{i ,} з якими з'являються значення в n незалежних іспитах, те

 ,   .                   (2.7)

У випадку безупинної випадкової величини Х математичне чекання

 .                                   (2.8)

2 Центральним моментом порядку до називається величина

                         (2.9)

Зокрема, центральний момент 1-го порядку тотожно дорівнює 0. Центральний момент 2-го порядку називається диспер-сией

        (2.10)

Момент 3-го порядку зв'язаний з аcимметрией щільності звади-розподілу безупинної випадкової величини

                                  (2.11)

а центральний момент 4-го порядку зв'язаний із кривизною плот-ности f(х) поблизу її максимуму. Через нього виражається ексцес

                                (2.12)

що характеризує островершинность щільності f (x) у випадку наявності максимуму.

Центральні моменти доцільно обчислювати, исполь-зуя формули, що виражають центральні моменти через началь-ные:

                       (2.13)

.

Основні числові характеристики випадкової величини X - математичне чекання і дисперсія. Їхньої властивості следу-ющие (з = const) :

         а) М (c) = 0,                              D (c) = 0;

б) M (X ± c) = M (X) ±  c,         D (X ± c) = D (X);

в) M (c) = cМ (X),                     D (c) = c²D (X);           (2.14)

г) ,          .

Тут остання властивість для дисперсії припускає незави-симость випадкових величин Х₁, Х₂, ..., Хn.

Для закону Бернуллі (2.1)

  M (X) = np,     D (X) = npq;

для закону Пуассона (2.2)

 M (X) = l,        D (X) = l .

Як приклад безупинної випадкової величини розглянемо розподіл Коші:

              F (x)=          (2.15)

Крива  симетрична щодо нуля. Следо-вательно, у даному випадку математичне чекання а = 0, і воно є середнім значенням випадкової величини. При х=0 маємо F(0) =  тобто випадкова величина равновероятно прини-мает значення, великі чи менші нуля. Число М таке, що F(M)= називається медіаноювипадкової величини. Значення х=m, при якому щільність розподілу приймає наибо-льшее значення, називається модоювипадкової величини. Кри-вые y= f (x), що мають один максимум, називаються унимо-дальными. Таким чином, у випадку унимодального симетричного розподілу математичне чекання, медіана і мода випадкової величини рівні між собою.

Малюнок 2.1