Після того як отримана деяка оцінка (наближене
значення ) параметра q, виникає питання: наскільки вона точ-на, тобто як
близько
до q?
Таким чином, що випливає етапом для нас повинно бути побудова міри точності
цієї оцінки.
Будь-яка оцінка як
статистика вибірки є випадковою величиною, і, мабуть, її відхилення від
генерального параметра q також
буде випадковим. Отже, питання про оцінку цих відхилень носить вероятностный
характер, а саме: для довільного числа
можна
вказати лишь імовірність p, таку, що
(2.56)
Імовірність, що тут
фігурує, p називається довірчої (100p%) імовірністю, а інтервал
- довірчим (100p%) інтервалом, чи довірчою оцінкою.
Отже, будь-яка статистична оцінка є оцінка виду
(2.57)
де і
- деякі
випадкові числа. При побудові интервальных оцінок виду (2.57) використовуються
квантили випадкових величин.
Квантилем кp розподілу випадкової величини з
функцією розподілу F(x) називається рішення рівняння
F(kp) = p, (2.58)
т. е. квантиль кр є таке значення випадкової величини, що
(2.59)
Деякі часто зустрічаються квантили носять спеціальні назви. Так,
квантили до0,1, до0,2, ..., до0,9
називають децилями, квантили до0,01, до0,02,
..., до0,99 - процентилями. Найбільш важливе значення має
квантиль , називаний медіаною розподілу.
Квантили стандартного нормального розподілу позначаються
через up. Їх легко знайти безпосередньо з таблиці додатка А.
Якщо те, підбираючи таке х, для якого
ми знайдемо, що
Якщо ж
те підбирають таке х, для якого
і тоді up = x.
Наприклад, 40% квантиль u0,4=-0,25, 95% квантиль u0,95=1,64.
Для зручності користування деякі часто уживані квантили стандартного
нормального розподілу приводяться в таблиці додатка Б.
Квантиль xp загального
нормального розподілу з параметрами a і виражається
через квантиль up стандартного розподілу по формулі (2.35)
Наприклад, 95% квантиль для нормального розподілу з параметрами а
= 4, дорівнює
x0,95 = 4 + 0,5·1,64 = 4,82.
Поняття квантиля використовується не тільки для нормального, а і для інших розподілів: Стьюдента, Пирсона, Фишера і т.д. Якщо відомі два квантиля кs і кq довільні розподіли, то, мабуть,
(2.60)
Сформулюємо тепер зворотну задачу : по заданій
імовірності р визначити довірчий інтервал. Очевидно, у такій постановці
ця задача має незліченну безліч рішень - імовірності р відповідає будь-як
оцінка виду де
Однак
якщо в якості квантилей вибрати симетричні відносно
квантили
і
те
довірчий 100% інтервал
(2.61)
буде уже визначатися однозначно.
У додатках, у зв'язку з перевіркою різних статистичних
гіпотез (див. § 2.5), довірчу імовірність р
представляють у виді де
-
рівень значимості. У даному випадку
- імовірність події,
протилежного події (2.61). При заданому рівні значимості
з (2.61) одержуємо
(2.62)
Малюнок 2.7 |
На мал. 2.7 представлений зв'язок між квантильны-ми границями ,
і
довірчої вероятно-стью
у випадку, якщо випадкова
величина
має симетричний розподіл з нульовою
медіаною (наприклад, стан-дартное нормальне рас-пределение чи распреде-ление
Стьюдента).
Тому що те
З умови симетрії видно,
що
Площа заштрихованої фігури дорівнює
довірчої імовірності
Отже, у випадку симетричних розподілів (мал. 2.7)
100(1- )% довірчий інтервал має вид
(2.63)
Довірча
оцінка генерального параметра.Потрібно побудувати
довірчу оцінку генерального параметра q
(щирого результату спостережень, щирого значення деякого параметра,
математичного чекання досліджуваного розподілу). Нехай -
обрана за якоюсь методикою крапкова оцінка параметра q, і вона лінійно залежить від результатів спостережень
Тоді випадкова величина
має той же тип розподілу, що і випадкові
величини
Якщо з якихось розумінь уста-новлено, що
можна прийняти нормальний закон розподілу для
, те це
означає, що й оцінка
задовольняє нормаль-ному закону
~
НАДАЛІ це і припускаємо.
Розглянемо основні задачі оцінювання невідомих параметрів, що виникають при обробці спостережень.
Задача 1
Оцінка параметра q при відомій дис-персии .Припустимо, що за
результатами попередніх спостережень дисперсія
відома.
Тоді, згідно (2.44), статистика
~
і, з огляду на (2.63),
знаходимо
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.