Економетрика: Навчальний посібник (Статистичні методи аналізу й обробки спостережень), страница 5

Величина  називається нормованоїі відповідає стандартному нормальному розподілу

   .(2.33)

Для зручності функцію розподілу можна записати у виді

              (2.34)

де Ф(u) називається функцією Лапласа. Вона є непарної :  тому таблицю її значень досить скласти лише для u ≥ 0 (див. додаток А). У додатку Б приведені також деякі найбільше часто уживані значення величини u такий, що Р ( u ) =  при

Зробивши в (2.32) зворотний перехід, одержимо   

 ~                          (2.35)

Якщо  змінюється від х₁ до  х₂,  то  змінюється від     до Таким чином, для довільного нормального закону знаходимо

                      (2.36)

Розглянемо абсолютне відхилення  випадкової величини  (2.35) від свого математичного чекання a. Думаючи в (2.36)     одержуємо

чи, позначаючи

 .

Зокрема, при  маємо

відкіля випливає правило 3 : відхилення менші, чим утроен-ный стандарт, практично достовірні; стосовно до про-тивоположному події це звучить так: відхилення, великі потроєного стандарту, практично неможливі.

Нормальний розподіл є найбільш вивченим. Тому його намагаються використовувати і при дослідженні слу-чайных величин, розподілу яких відмінні від нормаль-ного.

Один зі шляхів тут полягає в тім, що розподіл досліджуваної випадкової величини заміняють приблизно нор-мальным (якщо, звичайно, це можливо). Так, наприклад, бино-миальное розподіл (2.1) можна приблизно заміняти нормальним розподілом з параметрами np, ; погрішність при цьому буде тим менше, чим більше диспер-сия. У практичних обчисленнях при р > 0,1 погрішністю переходу можна зневажати вже при npq ≥ 9. Такий підхід особливо часто використовується при обробці результатів наблю-дений, де звичайно немає можливості установити розподіл випадкової величини з абсолютною точністю.

Інший підхід у припущенні нормального распреде-ления результатів спостережень складається в побудові статистик, що підкоряються відомим вибірковим розподілам. Це дозволяє будувати довірчі інтервали для неиз-вестных параметрів і перевіряти основні гіпотези матема-тической статистики.

 - розподіл (розподіл Пирсона). Нехай незалежні стандартні нормальні перемінні ~N (0,1). Тоді розподіл величини (“хі-квадрат”):

називається  - чи розподілом розподілом Пирсона з r = n ступенями волі. Воно має щільність

   х > 0.

Видно, що  - розподіл не містить невідомих парів-метрів і залежить тільки від r. Оскільки > 0, те і щільність розглядається лише на проміжку (0, ). Графіки плот-ности при деяких значеннях r приведені на мал. 2.4.

Малюнок 2.4

Криві асиметричні, і коефіцієнт асиметрії  убуває зі збільшенням r. Це унимодальное распреде-ление, і його мода m = r-2 зрушується вправо при збільшенні r. Математичне чекання і дисперсія величини  рівні :

  

Виявляється, що деякі статистики вибірки мають - розподіл. Наприклад, якщо -дисперсія нормального розподілу і - її незміщена оцінка з r = n - степе-нями волі ( - число зв'язків у вираженні для ), те статис-тика

                                (2.37)

має  - розподіл з r  ступенями волі. Зокрема, якщо значення, що спостерігаються, ( N (a, ), те незміщеною оцінкою дисперсії є вибіркова дисперсія ^s2 (2.26), що має r = n - 1 ступенів волі. Тому статистика

                                   (2.38)

має  - розподіл з числом ступенів волі r = n - 1.

            У додатку Г при різних числах ступенів волі r≤30 приведені таблиці значень величини  такий, що

                          (2.39)

при  Для  r  > 30 перемінна

приблизно розподілена по стандартному нормальний зако-ну, тому при r > 30 значення можна обчислювати по при-ближенной формулі

                      (2.40)

де значення u_p приведені в додатку Б.

t-розподіл (розподіл Стьюдента). Перед-покладемо, що випадкова величина  ~ N (0,1) не залежить від пе-ременной , такий, що величина  має  - розподіл з r ступенями волі. Тоді розподіл перемінної

                                          (2.41)

називається чи t-розподілом розподілом Стьюдента з r ступенями волі. Його щільність