Степенные ряды

Эйсымонт И.М.

Лекция на тему:

«Степенные ряды»

Мы уже знакомы с понятием числового ряда, научились исследовать числовые ряды, т.е. бесконечные суммы чисел, на сходимость. Теперь мы обобщим понятие суммы бесконечного числа слагаемых на тот случай, когда суммируются функции.

Определение. Формально записанная сумма бесконечного числа функций , определенных на одном и том же отрезке называется функциональным рядом:

 при

Определение. Будем говорить, что функциональный ряд сходится в точке  если после подстановки  во все функции числовой ряд  сходится.

Определение. Областью сходимости функционального ряда называется множество точек из отрезка в которых функциональный ряд сходится.

На практике широкое применение нашли несколько видов функциональных рядов:

─ степенные ряды, например,

       

─ ряды Фурье, например,

            В основе рядов Фурье лежат периодические тригонометрические функции, а они отражают колебания, поэтому такие ряды широко используются в физике. Мы же подробно остановимся на степенных рядах.

            Определение. Степенным рядом называется ряд вида:

где  ─ это числа, которые называются коэффициентами степенного ряда.

            Заметим, что какими бы ни были коэффициенты  степенного ряда, одна точка, в которой ряд сходится, всегда существует. Это    Давайте подставим нуль в формулу степенного ряда:

Здесь мы выделили нулевое слагаемое, поскольку

            Теорема Абеля. Если степенной ряд   сходится в точке  то он сходится абсолютно при всех  удовлетворяющих неравенству  Если же степенной ряд      расходится в точке  то он расходится при всех  удовлетворяющих неравенству

            Пример. Рассмотрим ряд  Для начала возьмем несколько значений переменной  и посмотрим, какие числовые ряды получатся после подстановки:

            –  при  получается ряд   – это геометрический ряд. Геометрические ряды мы с вами подробно исследовали и знаем, что геометрический ряд вида  сходится только, если знаменатель  по модулю меньше единицы, т.е.  В данном случае  что по модулю больше единицы, а значит ряд расходтся.