Математика \ Математический анализ и линейная алгебра

Степенные ряды, страница 5

Теорема. Степенной ряд в интервале его сходимости можно дифференцировать почленно неограниченное число раз, причем получающиеся степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Теорема. Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до если из интервала сходимости ряда, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример. Найти сумму ряда

Выше было показано, что область сходимости этого ряда Преобразуем ряд:

Ряд, котоый возник после вынесения за знак суммы, является производной от ряда т.е.

В предыдущем примере было показано, что следовательно, таким образом, для исходного ряда получаем:

Теорема. Если функция дифференцируема в точке неограниченное число раз, то она может быть представлена в виде ряда Маклорена

Следует отметить, что как всякий степенной ряд в точке ряд Маклорена всегда сходится и, это видно из формулы, его сумма равна значению функции в нуле. Но прежде чем применять разложение для других значений необходимо найти радиус сходимости ряда и убедиться, что рассматриваемая точка принадлежит области сходимости.

Доказательство. Предположим, что нам удалось представить функцию в виде некоторого степенного ряда:

Будем искать коэффициенты исходя из предположения, что и сам ряд, и все его производные в нуле должны быть равны соответствующим значениям исходной функции и ее производных. Прежде всего, подставим нуль в саму функцию: