Степенные ряды, страница 2

            –  при  степенной ряд принимает вид  у этого геометрического ряда  следовательно, ряд сходится.

Давайте изобразим полученные результаты на чиcловой прямой:

Точки, в которых степенной ряд сходится, изображены закрашенными кружочками, те, в которых расходится – полыми. А теперь применим теорему Абеля: раз при  степенной ряд сходится, значит, он сходится абсолютно при всех  удовлетворяющих неравенству  Изобразим это множество точек на прямой штриховкой.

Из второй части теоремы следует, что ряд расходится при всех  удовлетворяющих неравенству  Это множество заштрихуем под числовой прямой.

На рисунке видно, что неисследованными остались два интервала:  и . Что же будет происходить если мы продолжим исследование? Рассмотрим, например,  В этой точке ряд расходится, следовательно, мы можем расширить область расходимости ряда, как показано на рисунке.

Если же рассмотреть точку  то расширится область сходимости.

Продолжая эту процедуру дальше придем к тому, что области сходимости и расходимости будут разделены не интервалами, а точками. В данном примере такую роль играют точки 1 и ─1. В общем случае эти точки  обозначим  и

	-R		R

 

            Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется неотрицательное число  такое, что при  степенной ряд сходится абсолютно, а при   – расходится.

            Таким образом, если известен радиус сходимости степенного ряда, то его поведение определено во всех точках, кроме двух:  и  О поведении ряда в этих точках заранее ничего сказать нельзя, поскольку возможны любые варианты: сходится абсолютно, сходится условно или расходится. При исследовании степенного ряда необходимо отдельно подставить эти точки и исследовать возникающие числовые ряды. Учитывая то, что областью сходимости степенного ряда может быть один из четырех промежутков:    или  говорят об интервале сходимости степенного ряда.