Числовые ряды

Константинова О.Г.

Лекция на тему:

Числовые ряды.

Определение: Числовым рядом называется формально записанная сумма бесконечного числа членов числовой последовательности.

 

где общий член ряда.

Сумму конечного числа первых членов ряда называют частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм  ряд  называют сходящимся. В этом случае число S называется суммой ряда:

Если  или не существует, ряд  называют расходящимся.

Примеры:           1)  расходится, т.к.  при  неограниченно возрастают.

                            2) расходится, т.к.  а  предела у  нет.

                            3) – сумма членов бесконечной геометрической прогрессии,  

при   

при   равен  если  и не существует предела, если

при  получаем ряд 1+1+1+1+…, частичные суммы  неограниченно растут; когда  при  получаем расходящийся ряд рассмотренный в примере 2.

Таким образом, ряд  сходится, если  и расходится, если

                            4)  сходится, т.к.  при

Свойства сходящихся рядов:

1. Если  то ряд

2. Если   то

3.   – остаток ряда

 - частичная (конечная) сумма; сходимость ряда  зависит от сходимости :

а) если какой то остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится;

б) если ряд сходится, то любой его остаток сходится.

Следствие: Конечное число членов ряда не влияет на сходимость ряда, т.е. если есть сходящийся ряд, то при отбрасывании или добавлении конечного числа слагаемых получим сходящийся ряд. Если же исходный ряд расходился, то при отбрасывании или добавлении конечного числа слагаемых получим расходящийся ряд.