Числовые ряды, страница 3

2)   сходится, т.к.  а ряд  сходится (см. пример 4) в начале лекции).

Второй признак сравнения (предельный)

Даны два ряда:  и

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов этих рядов:  то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, при этом говорят, что члены у этих рядов одинакового порядка.

Пример:

  сходится, т.к. его можно сравнить со сходящимся рядом  

Признак Даламбера

Если существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: , то если  ряд расходится, если  ряд сходится, если  нужны дополнительные исследования сходимости ряда.

Примеры: 1)  сходится, т.к.  

2)   расходится, т.к.

3) Гармонический ряд   расходится, а  

4)  сходится, а

Замечание: признак Даламбера удобен, когда члены ряда содержат показательную функцию или n-факториал. Если член ряда есть дробно-степенная функция, признак Даламбера не решает вопрос о поведении ряда.

Интегральный признак сходимости рядов:

Ряд  и  (при  на  одновременно сходится или расходится.

Этот признак может быть использован для вывода о сходимости рядов  при   ряд сходится,  ряд расходится. Поведение соответствующих интегралов рассмотрено в теме «несобственные интегралы».

Ряды знакопостоянные сходятся, если их члены достаточно быстро стремятся к нулю.

Знакопеременные ряды могут сходиться не благодаря быстрому стремлению членов ряда к нулю, а из-за того, что последовательность частных сумм не является монотонной.

Если ряд сходится, и ряд из модулей членов ряда тоже сходится, то ряд называют абсолютно сходящимся.

Если ряд сходится, а ряд из модулей членов ряда расходится, то ряд называют условно сходящимся.

Условно сходиться могут только знакопеременные ряды.

Теорема: Если ряд из модулей членов ряда сходится, то и сам ряд сходится.

В доказательстве используют первый признак сравнения.

Из знакопеременных рядов рассмотрим знакочередующиеся ряды, т.е. такие ряды, у которых любые два соседних члена имеют разные знаки. Для таких рядов есть достаточное условие сходимости.

Теорема Лейбница

Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.