Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция  определена для всех и интегрируема в любом отрезке . Если существует

то этот предел называется несобственным интегралом функции  на промежутке  и обозначается . В этом случае говорят также, что несобственный интеграл  сходится, а функция  интегрируема в несобственном смысле на промежутке . В противном случае говорят, что интеграл  расходится, а функция неинтегрируема в несобственном смысле на промежутке .

Для непрерывной неотрицательной функции , , сходящийся несобственный интеграл  равен площади неограниченной криволинейной трапеции .

Аналогично определяется несобственный интеграл функции , , с нижним бесконечным пределом интегрирования:

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции , , определяется следующим образом:

где c – некоторое число.

Если для функции , , при некотором существуют интегралы

то

Если хотя бы один из интегралов в правой части этого равенства не существует, то интеграл называется расходящимся.

Признак сходимости и расходимости интегралов для неотрицательных функций (признаки сравнения). Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [a; b], b<+∞. Тогда:

I.  Если f(x) и g(x) удовлетворяют на промежутке [a; +∞) неравенству f(x)≤g(x), то:

a)  из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла ;

b)  из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

II.  a) Если g(x)>0 на промежутке [a; +∞) и существует

То, если  0≤k<+∞, то из сходимости  следует сходимость интеграла .

Если  0<k≤+∞, то из расходимости следует расходимость интеграла .