Определение равенств, используя свойства операций над множествами

Государственный комитет Российской Федерации

по связи и информатике

Сибирский Государственный Университет

Телекоммуникаций и Информатики

Контрольная  работа

по дисциплине

« Д И С К Р Е Т Н А Я      М А Т Е М А Т И К А »

Выполнил: студент 2 курса ЗО АЭС

специальности «телекоммуникации»

(ускоренное обучение)

ГОРБАТКО А.П.

студенческий билет № 011ТУ-076

Проверил:

Новосибирск

2003

Задача № 1. (18)

Доказать равенства, используя свойства операций над множествами.

A\ ((A I B) \ C) = (A \ B) U (A I C);

A\ ((A I B) \ C) = {(9)} = A I (A I B)\C = {(9)} = A I (A I B) I C = {(5,8)}=

A I (A U B) U C ={(8)} = A I (A U B) U C = (A I A) U (A I B) U C ={(8)}=

O U (A I B) U C ={(6)}= (A I B) U C={(2)}= A I (B U C) ={(3)}=

= (A I B) U (A I C) ={(9)}=  (A \ B) U (A I C)

Задача №2. (23)

а) Для определения является ли отношение P рефлексивным, проверим следующие пары:

(1,1) Î P, (очевидно из графического представления)

(2,2) Î P,

(3,3) Î P,

(4,4) Î P;

Следовательно, отношение P является рефлексивным.

б) Построим графическое представление отношения:

R = {(x,y)| x² ³ 3(x+y)}.

 Подставим в это неравенство возможные значения x и y:

x =1, y =1 à 1 ³ 3(1+1) - неравенство не выполняется;

x =1, y =2 à 1 ³ 3(1+2) - неравенство не выполняется;

очевидно, что при x =1, для всех y неравенство не выполняется;

x =2, y =1 à 4 ³ 3(2+1) - неравенство не выполняется;

x =2, y =2 à 4 ³ 3(2+2) - неравенство не выполняется;

очевидно, что при x =2, для всех y неравенство не выполняется;

x =3, y =1 à 9 ³ 3(3+1) - неравенство не выполняется;

x =3, y =2 à 9 ³ 3(3+2) - неравенство не выполняется;

очевидно, что при x =3, для всех y неравенство не выполняется;

x =4, y =1 à 16 ³ 3(4+1) - неравенство  выполняется;

x =4, y =2 à 16 ³ 3(4+2) - неравенство не выполняется;

очевидно, что при x =4 и y >1 неравенство не выполняется;

Следовательно, построим графическое представление отношения R:

 

1

 

                 4

Построим графическое представление отношения:

P = {(x,y)| xy+1 делится на 4)}.

Подставим в это выражение возможные значения x и y:

x =1, y =1 à (1+1) делится на 3 –  не верно;

x =1, y =2 à (2+1) делится на 3 –  верно;

x =1, y =3 à (3+1) делится на  3 – не верно;

x =1, y =4 à (4+1) делится на 3 – не верно;

-------------------------------------------

x =2, y =1 à (2+1) делится на  3 –  верно;

x =2, y =2 à (4+1) делится на  3 – не верно;

x =2, y =3 à (6+1) делится на 3 – не верно;

x =2, y =4 à (8+1) делится на 3 –  верно;

--------------------------------------------

x =3, y =1 à (3+1) делится на 3 – не верно;

x =3, y =2 à (6+1) делится на 3 – не верно;

x =3, y =3 à (9+1) делится на  3 – неверно;

x =3, y =4 à (12+1) делится на 3 – не верно;

---------------------------------------------

x =4, y =1 à (4+1) делится на 3 – не верно;

x =4, y =2 à (8+1) делится на 3 –  верно;

x =4, y =3 à (12+1) делится на 3 – не верно;

x =4, y =4 à (16+1) делится на 3 – не верно;

Следовательно, построим графическое представление отношения P:

 

4

 

                 4

Теперь построим отношение S = P ◦ R

По определению со стр. 7:

S = {(x,y)| $z ÎA, для которого выполнено (x,z) ÎR, (z,y) ÎP};

Проверим все возможные пары на принадлежность отношению S:

Пара (1,2): (1,z) ÏR, следовательно, пара (1,2) не принадлежит отношению S и кроме того, отсюда очевидно, что любая пара в которой x = 1 не принадлежит S.

Аналогично поступим с парами, где x = 2 и x = 3. Такие пары так же  не будут принадлежать S.

Пара (4,2): (4,z) Î R при z =2 и пара (z,1) Î P при z =1 следовательно, пара (4,2) принадлежит отношению S. Следовательно, графическое представление отношения S имеет вид:

 

1

 

                 4

в)