Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональной дроби

Страницы работы

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.

Содержание работы

Неопределенный интеграл.

Основные определения и свойства.

Функция  называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на интервале , если в любой точке  этого интервала функция  дифференцируема и имеет производную ­, равную .

     ,    .

Теорема. Если  - любые первообразные для функции  на интервале , то всюду на этом интервале , где -некоторое частное.

Положим . Так как каждая из функций  дифференцируема на интервале , то по свойству производной дифференцируема и разность  на интервале . При этом , то есть , что требовалось доказать.

Следствие. Если -одна из первообразных для функции  на интервале , то любая первообразная  для функции  на интервале  имеет вид

.

То есть, меняя постоянную , получаем все множество первообразных для функции  на интервале .

Совокупность всех первообразных функций для функции  на интервале  называется неопределенным интегралом от функции  на этом интервале и обозначается символом , где знак ò-знак интеграла, - подынтегральное выражение, функция -подынтегральная функция.

В силу следствия предыдущей теоремы имеем

=

отметим следующие свойства.

= , =, то есть знаки  и  взаимно сокращаются. Действительно, по определению имеем:

= и, взяв дифференциал, получим

=, где в последнем соотношении использовано определение первообразной  .

Во втором свойстве = использовано также определение первообразной   или .

Еще одним свойством является следующее

С точностью до постоянного множителя.

Действительно, пусть функция  имеет первообразную , а функция  первообразную : , .Тогда

 и функция  является первообразной для функции , что и требовалось доказать.

И, наконец,

так  как функция  имеет первообразную   то

, откуда ясно, что функция - первообразная

Для функции .

Для определения первообразной и неопределенного интеграла позволяют нам составить таблицу основных неопределенных интегралов по следующему правилу: производная правой части равна подынтегральной функции левой части.

1.  2.

3.  

4.,   

5.

6.

7.

8.

9. ,

10.   

11.

12.

13.,    .

В результате построения этой таблицы интегралов можно предположить, что интегралы от элементарных функций также являются элементарными функциями (как это имеет место для производных функций). Однако, что неверно. В качестве примеров рассмотрим некоторые неопределенные интегралы, не имеющие первообразных среди элементарных функций:

  -   интеграл Пуассона,

или

-интеграл Френеля,

-интегральные логарифм, косинус и синус. Каждый из этих интегралов представляет неэлементарную функцию.

Основные методы интегрирования.

1.  Интегрирование заменой переменных (подстановкой).

Теорема. Пусть функция  определена и дифференцируема на некотором множестве  и пусть  - множество всех значений этой функции. Пусть также для функции  существует на множестве    первообразная  , то есть Тогда, всюду на множестве  для функции существует первообразная функция  , то есть

Доказательство основано на определении первообразной. Покажем , что производная  равна . Действительно, функция  -сложная функция и производная от нее равна

.В последнем соотношении использовано определение первообразной.

2.  Интегрирование по частям . 

Теорема. Пусть каждая из функций  дифференцируемы на множестве  и, кроме того, на это множестве  существует первообразная для функции    . Тогда на множестве   существует первообразная для функции  и имеет место формула

Для доказательства теоремы запишем формулу производной произведения

    ,

Умножим ее на   и возьмем интеграл от обоих частей равенства. Так как имеются первообразные на множестве   и ,то на этом же множестве существует первообразная  и имеет место искомое соотношение 

Так как , то имеем другую форму интегрирования по частям

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть разбита на три группы:

1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из функций

 или их степени. В этой группе полагаем, что  равна одной из указанных функций.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида

,

где   -действительные постоянные,  -  любое целое положительное число. Интегралы этой группы берутся   -  кратным применением формулы интегрирования по частям, причем, всякий раз за   принимается степенная функция.

3) К третьей группе относятся интегралы вида

Приравняв любой из интегралов , и произведя двукратное интегрирование по частям, составим для  уравнение первого порядка. Приведем несколько примеров на теоремы интегрирования.

Интегралы, содержащие иррациональные выражения вида

Имеют первообразные в следующих случаях:

а)    -целое число,  -дробное число. Тогда по методу замены переменной

Например,

Здесь  . Подставляя вместо  новую переменную  , имеем

б)    - не является целым числом, +   -целое число. В этом случае

Например,

Здесь   

Подставив вместо  новую переменную, получим

Упростим полученный интеграл, используя теорему об интегрировании по частям.

Положим    и         и имеем:

Интеграл  вычислим позднее.

Похожие материалы

Информация о работе

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.