Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональной дроби, страница 6

, где S₁ и S₂ – площади 2-х секторов.

, где  – бесконечно малая величина третьего порядка и .

В результате двойной интеграл в полярной системе координат имеет вид

, где Р: .

Тройной интеграл. Задача о заряде тела.

Пусть дано тело, объём которого равен V, состоящее из заряженного вещества, с плотностью заряда q(x, y, z), изменяющийся от точки к точке в пределах этого тела. Требуется найти заряд Q этих точек.

Разложим тело на ряд ΔV₁, ΔV₂,…, ΔV_i частичных объёмов и в каждой части выберем произвольную точку M(ε_i,ξ_i,ζ_i).

Плотность заряда в этой точке q(ε_i,ξ_i,ζ_i). Пологая, что плотность заряда в пределах объёма ΔV_i постоянна, найдём заряд ΔQ_i этого объёма

.

Тогда приближенно заряд тела Q равен

. Устремив , получим точно значение .

Как обычно, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения и выбора точки (ε_i,ξ_i,ζ_i), то он называется тройным интегралом функции q(x, y, z) по объёму V.

Эту же задачу решим при ином способе разбиения объёма интегрирования V.

С этой целью конкретизируем объём интегрирования. Пусть тело является цилиндрическим, ограниченным снизу и сверху, соответственно, поверхностями (, ) (точки входа и выхода), проектирующимся на плоскость xOy, в некоторую область Р. С боков это тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Проведём плоскости , , аппликаты которых удовлетворяют неравенству . При этом получаем цилиндрическое тело с высотой Δz. Рассечём на плоскости xOy область Р на области Р₁, Р₂,…, Р_n, которых Δσ₁, Δσ₂,…, Δσ_n, соответственно, и через стороны этих областей проведём плоскости, параллельно оси Oz до пересечения с основаниями цилиндрического тела высотой Δz. Получим n тел, объёмы которых равны . В каждом из этих объёмов возьмём точку (ε_i,ξ_i,ζ_i) и определим в ней плотность заряда q(ε_i,ξ_i,ζ_i). Тогда  заряд i-ого тела равен , заряд Q всего тела приближённо равен .

Устремив Δσ_i и Δz_i к нулю, получим точную величину заряда тела  или по привычным ранее использовавшимся определениям

, где первый интеграл двойной, второй – определённый. Так как Δσ в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид , получим повторный интеграл , равный тройному интегралу. Здесь объём V (предел интегрирования) заданы в виде элементарных неравенств

.

В результате получено правило вычисления тройного интеграла (сведение его к повторному). Сначала задаётся в виде простейших неравенств объём тела интегрирования (определяются пределы интегрирования), затем повторно (справа на лево) вычисляются 3 определённых интеграла:

1)  – при постоянных x и y;

 и далее.

2)  – при

 и далее.

3) .

Цилиндрическая система координат.

Цилиндрическая система координат представляет собой полярную систему координат на плоскости Р и ось Oz, перпендикулярную к плоскости Р_n, проходящую через начало координат. О(0,0,0) – полюс полярной системы координат. Любая точка в этой системе координат определяется тройкой действительных чисел (φ, r, z). В результате имеют место формулы перехода из цилиндрический системы координат в декартову прямоугольную систему координат:

.

Определим координатные поверхности этой системы координат:

а)  (φ₀ – постоянная) при произвольном z или  () – полуплоскость, содержащая ось Oz и проходящая через луч  на плоскости Р;

б)  (R – постоянная) при  или  – кривая цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси Oz;

в)  (z₀ – постоянная) – плоскость, параллельная плоскость Р.

Тогда единственная точка (φ₀, R, z₀) определяется как пересечение трёх координатных поверхностей. Действительно, при  и  соответствующие полуплоскость и цилиндр пересекаются по прямой, параллельной оси Oz. Пересекая эту прямую координатной плоскостью , получаем единственную точку с этой координатами. При этом имеют место формулы перехода из декартовой системы координат в цилиндрическую систему координат

.

Как мы уже видели ранее, элемент площади в полярной системе координат равен .

Тогда элемент объёма dV имеет вид .

В результате тройной интеграл  в цилиндрической системе координат принимает вид:

.