Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональной дроби, страница 5

Таким образом, вычисление этого интеграла состоит из двух этапов: на первом этапе вычисляется определённый интеграл ; на втором вычисляется предел .

Очевидно, что рассмотренные два вида несобственных интегралов полностью аналогичны. Поэтому и для интегралов от неограниченных функций имеют место аналогичные теоремы: необходимый и достаточный признак сходимости, теорема сравнения и иные теоремы, не входящие в наш курс.

Кратные интегралы.

Двойной интеграл. Задача об объёме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело, которое сверху ограничено поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, снизу – плоской фигурой Р на плоскости xOy.

Разложим плоскую область Р сетью кривых на части Р₁, Р₂,…,Р_n и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими нижними основаниями эти частичные области, а их верхние основания вырезаются этими столбиками на поверхности .

Для подсчёта объёма отдельных столбиков возьмём произвольно в каждой фигуре P_i точку . Если принять каждый столбик за цилиндр с высотой, равной аппликате  и основанием P_i с площадью σ_i, то приближенно объём каждого столбика равен .

Тогда приближенно объём тела V равен

Для повышения точности уменьшаем  размеры площадки P_i, увеличивая их число , и при этом получим

. Задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции  по области Р: .

Если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области Р на части P_i, от выбора на этих частях точек , то он называется двойным интегралом от функции  по области Р.

.

Также, как и в определённом интеграле такой предел (и двойной интеграл) существует для непрерывных и кусочно-непрерывных функций.

Установим правило вычисления двойного интеграла.

Рассмотрим тело, ограниченное поверхностью , по плоскостям x=a, x=b, y=α, y=β ??? координатной плоскости – прямоугольником Р: . Для произвольного значения  тело имеет поперечное сечение, площадь которого Q(x). Тогда ,  и .

Изменим конфигурацию области Р:  и возьмём криволинейный четырёхугольник, у которого линии y₁(x), y₂(x) называются точками входа и выхода соответственно. В более общем случае получим:

. Интеграл такого вида называются повторными. С другой стороны, используем ранее полученный результат . Тогда соотношение  является правилом вычисления двойного интеграла: сначала вычисляется при  определённый интеграл , затем  – ещё один определённый интеграл. Отметим, что .

Двойной интеграл обладает всеми свойствами определённого интеграла, поскольку он также, как и определённый интеграл определён как предел интегральных сумм:

-  постоянный множитель выносится за знак интеграла;

-  интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых функций;

-  двойным интегралом можно интегрировать неравенства и т. д.

Для двойного интеграла имеет место аналогичная теорема о среднем значение, если для определённого интеграла это значение , то для двойного – .

Полярная система координат.

Полярная система координат имеет вид: (см. рисунок), где точка О – начало координат, полярная ось (О – полюс). Произвольные полупрямые (???) наклонены под углом φ. Точка М в полярной системе имеет координаты φ и r, где r – её расстояние от начала координат.

Совмещая декартову прямоугольную систему координат с полярной системой, получим формулы перехода  из полярной системы в декартову. Определим координатные линии полярной системы координат. Пусть , тогда   и полупрямая  является одной из координатных линий. Пологая постоянным r, , получим  другую координатную линию – окружность. Их пересечение определяет единственную точку (; ) или (φ₀; r₀).

Приведём формулу перехода из декартовой системы в полярную систему координатной

.

Как уже отмечалось, в декартовой системе координат элемент площади dσ – бесконечно малая величина второго порядка . Определим вид элемента dσ в полярной системе координат. С этой целью, также как и в системе xOy, построим координатные линии, отличающиеся на величины dφ и dr. Их пересечение является элементом dσ.

Рассмотрим секторы с углом dφ и радиусом r и r+dr.