Лекции по дисциплине "Антенно-фидерные устройства СВЧ диапазона", страница 5

Е = 30 k/r ∫I(x) dx = 60 k/r ∫I_maxsin(kx)dx = 60 I_max [1-cos(kl)]/r = 60 I_a [1-cos(kl)]/[r sin(kl)].

Приравнивая это выражение к (*), получаем:

30 k I_а L_д./r = 60 I_a [1-cos(kl)]/[r sin(kl)],

L_д = 2/k  [2sin²(kl/2)]/ [2sin(kl/2) cos(kl/2)] = 2/k tg(kl/2)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1.  Короткий вибратор, l « λ → kl « 1 → L_д = l

L_д

- площади под линиями д.б. одинаковыми. I_а L_д.- момент тока

2l

2.  l = λ/4→ kl = π/2, tg π/4 = 1 → L_д = 2/k = λ/π,  L_д = 4l/π » = 1,27 l.

3.  l = λ/2 → kl = π, tg π/2 = ∞→ L_д = ∞. Это следствие того, что ток на входных зажимах в нашем приближении = 0, и ни при какой длине диполя Герца с таким током создать необходимое поле невозможно.

В этом ограниченность характеристики L_д.

Найдём сопротивление излучения симметричного вибратора. Для диполя Герца мы получили в свободном пространстве R_изл = 80π² (l/λ)². Равномерное распределение тока по действующей длине вибратора позволяет отсюда определить его R_изл по той же формуле:

R_изл = 80π² (L_д/λ)² = 80 tg(kl/2)²

Отметим, что это выражение получено относительно тока на клеммах антенны, т.е. надо было писать R_{изл а}. Для получения сопротивления излучения R_{изл п}, отнесённого к току в пучности, воспользуемся выражениями для излучаемой вибратором мощности:

P = I_a² R_{изл а}/2 = I_max² R_{изл п}/2, откуда R_{изл п} = R_{изл а} (I_a/ I_max)² = R_{изл а} sin²kl = 80 tg(kl/2)² sin²kl

При l > λ/4 этими формулами пользоваться нельзя, так как параметр L_д установлен исходя из равенства полей данной антенны и диполя Герца только в нормальной плоскости, а сопротивление излучения характеризует суммарное излучение, т.е. во все стороны. Ошибка тем больше, чем сильнее отличается ДН вибратора от ДН диполя Герца. Уже при l = λ/4 эта ошибка составляет около 10%, а при ещё больших длинах она становится недопустимо большой.

Более точное выражение для R_изл можно получить прямым интегрированием вектора Пойнтинга:

П = Е_θ Н^*_φ /2 = Е²/(2Z_c)

Для симметричного вибратора мы получили, что

E = 60I_max/r [cos(klcosθ) - cos(kl)]/sinθ,

P = 30I_max² ∫[cos(klcosθ) - cos(kl)]²/sinθ dθ

Отсюда сопротивление излучения симметричного вибратора, отнесённое к току в пучности, равно

R_{изл п} = 2P/ I_max² = 60∫[cos(klcosθ) - cos(kl)]²/sinθ dθ

Этот интеграл выражается через интегральные синус и косинус, получается довольно громоздкое выражение, впервые полученное Ван дер Полем:

R_{изл п} = 60(С+ln2kl-ci2kl) + 30(lnkl-2ci2kl+ ci4kl)cos2kl+30(si4kl-2si2kl)sin2kl,