Аналогові та підсилювальні електронні пристрої. Частина 2: Навчальний посібник, страница 2

чисельник функції  є виродженим поліномом  у якого всі  Тоді умова частотної корекції приймає вигляд

                                      (1.4)

Окремий випадок корекції за (1.4), коли всі  коефіцієнти полінома  крім останнього  вдається перетворити у нуль, зветься корекцією за Баттервортом. Йому відповідає характеристика

                                  (1.5)

Частотні характеристики для різних n, що побудовані на підставі (1.5), зображені на рис.1.1.

 

Чим вище степінь n поліному, що відображує частотну характеристику, тим ефективніше результат корекції за Баттервортом. 3і зростанням n у межах смуги пропускання підсилення все менше змінюється з частотою, а за її межами різче спадає до нуля.

Вираз (1.5) використовується для математичного опису реальних частотних характеристик. Таку операцію називають апроксимацією характеристик за Баттервортом. Квадрат модуля комплексної функції  можна подати у вигляді

Тоді переходячи від  до комплексної змінної р, отримаємо для (1.5)

Введемо для спрощення нові змінні

Тоді

Легко перевірити, що всі перші  похідні від  при  дорівнюють нулю, тобто відповідно з (1.2) функція, коректована за Баттервортом максимально плоска.

Знайдемо положення полюсів функції, коректованої за Баттервортом. Для цього необхідно розв'язати рівняння  Як комплексне число, S можна подати у вигляді модуля та аргумента. У даному випадку модуль дорівнює одиниці, тоді

де k – будь–яке ціле число. Отже, розв'язок рішення для полюсів залежно від знака рівняння має вигляд:

якщо n – непарне,

якщо n – парне,

                                   (1.6)

Таким чином, усі полюси функції  коректованої за Баттевортом, знаходяться на колі одиничного радіуса поділеного однаковими кутовими відстанями, рис.1.2 (а).

Вони знаходяться як у лівій, так і у правій напівплощині комплексної змінної. Але необхідно мати на увазі, що аналізована функція є не функцією коефіцієнта передачі , а квадратом її "модуля"

Отже, необхідну карту полюсів функції  можна дістати з рис.1.2 (а), якщо виключити з неї полюси, що належать до  і лежать у правій напівплощині.

Здобуті таким чином карти полюсів  для  зображені на рис.1.2 (б, в, г). Щоб перейти від нормованої частоти  до звичайної  необхідно масштаб на рис.1.2 поділити на нормувальний множник  Отже, всі корені  лежать на колі з радіусом  Цей радіус визначає значення граничної частоти , якщо її знаходити за рівнем послаблення –3дБ.

Рисунок 1.2 – Карти полюсів

Використовуючи (1.6) та враховуючи полюси, що знаходяться тільки у лівій напівплощині, можна дістати аналітичний запис функції  коректованої за Баттервортом

Коефіцієнти  знаходяться, розкриваючи дужки та об'єднуючи члени однакових степенів S. Їх також можна здобути аналітично, якщо скористуватися рівняннями

де

У випадку корекції частотних чи фазових характеристик за Брауде нуль–полюсна карта показує оптимальне положення не тільки полюсів, а й нулів.

Щоб з'ясувати це оптимальне положення, розглянемо коефіцієнт передачі, використовуючи його нулі та полюси:

                     (1.7)

де  – нулі функції  а  – її полюси.

Припустимо, що всі полюси знаходяться на дійсній осі. Модуль коефіцієнта передачі можна подати у вигляді добутку частотних характеристик, що відповідають кожному полюсу. Якщо не враховувати нулі , то маємо

На рис.1.3(а) пунктирною прямою показані складові логарифмічної характеристики, що обумовлені кожним з полюсів, суцільною прямою – результувальна частотна характеристика.