Комбинирование критериев и относительных переменных. Сплошная среда и краевая задача

ЛЕКЦИЯ 7

          Третья теорема подобия часто называется обратной, ибо отвечает на вопрос: какие условия достаточны, чтобы явления были подобны?

          Подобны те явления, условия однозначности которых подобны и критерии, составленные из условий однозначности, одинаковы (теория М.В. Кирпичева – А.А. Гухмана). Третья теорема подобия выделяет, как мы видим, те критерии, которые составлены из условий однозначности. Их принято называть определяющими критериями подобия, ибо они устанавливают факт наличия подобия между явлениями. Если в критерии подобия входят и другие величины, не относящиеся к условиям однозначности, то их называют неопределяющими.

Комбинирование критериев и относительных переменных

Вид комплексов, входящих в состав критериальных уравнений, не определяется строгой постановкой задачи. Их построение, даже при наличии качественной физико-математической модели, в известной степени произвольно, ибо комбинировать сопоставляемые операторы попарно можно любым образом.

          Допустим, что в процессе обработки уравнения получено два критерия  и . Известно, что для установления факта подобия выдвигается требование , . Однако требование одинаковости численных значений одноименных критериев подобия можно заменить любым другим эквивалентным требованиям, например, определяем численных значений  и , где  и  – функции. В общем то, что они могут быть выбраны произвольно, но система, составленная из них, должна однозначно определять численное значение  и . А это означает, что любая комбинация критериев подобия есть так же критерий подобия. Этот вывод достаточно важен, ибо возможность комбинирования критериями является основой для рационального формирования самих критериев. При выполнении операции приведения переменных к безразмерному виду для одной и той же величины приходится вводить различные интегралы изменения. Пусть некоторая переменная входит в оператор в виде произвольных

 и ,

то в этом случае приведение дает

 и .

Числители этих выражений не равны друг другу, ибо они представляют собой приращение функции, отвечающие заданным интервалом двух различных аргументов. Например, изменение величины на длине отрезка (координаты) и изменение величины в течение определенного промежутка времени. Таким образом, в состав комплекса должны войти различные значения , что создает очевидные неудобства. Однако, если ввести в комплексы множитель  и  мы можем преобразовать их таким образом, когда переменная  будет представлена в них лишь одним и тем же параметрическим значением .

          Достаточно часто при формулировке задач для некоторых величин заданными следует считать не одно, а две или даже несколько значений: сторона основания и диагональ параллелепипеда; частота колебаний возмущающей силы и частота собственных колебаний; скорость абсолютного и скорость относительного движений среды; скорость распространения слабых возмущений в этой среде и т.д. Итак, условие может содержать два и более параметра одной и той же физической природы. Очевидно, что в этом случае получаются тождественные по своей структуре критерии, отличающиеся тем, что по крайней мере одна из входящих в них величин имеет неодинаковое значение. Комбинируя такие критерии попарно, мы заменяем их отношениями одноименных параметров, сохраняя в первоначальной форме только по одному критерию для каждой группы однотипных комплексов. Получаемые при этом произвольные критерии проще первоначальным, что является несомненным преимуществом. Таким образом, параметры могут входить в критериальные уравнения не только в виде комплексов, но и как симплексы – простые отношения одноименных величин. Их часто называют критериями параметрического типа или для краткости – параметрическими критериями.